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Theilen des Raumes sich befinden. Um ihre Eigenschaften 
handelt es sich ja eigentlich, sie allein können auch Gegen- 
stand der Beobachtung werden, Wir machen daher vor 
Allem die Annahme, dass die Axiome der Geraden, der Ebene, 
des Kreises d. h. die Sätze, dass durch zwei Punkte eine 
Gerade, durch drei Punkte, die nicht in gerader Linie liegen, 
eine Ebene und durch einen Mittelpunkt und eine von ihm 
ausgehende gerade Strecke in der Ebene ein Kreis bestimmt 
ist, nur in hinlänglich kleinen Theilen des Raumes Geltung 
haben. Von einem solchen Raumtheile darf man auch be- 
haupten, dass er durch jedes in ihm enthaltene Stück einer 
Ebene und dieses selbst wieder durch jede darin verzeichnete 
Gerade, welche bis an seine Grenzen reicht, zerlegt werde, 
Dagegen betrachten wir als unzulässig und nichtssagend eine 
Aeusserung darüber, ob ein Punkt, der sich von einer gege- 
benen Anfangslage aus auf einer Geraden beständig in einem 
Sinne fortbewegt, in dieselbe zurückkehren wird oder nicht, 
d. h. ob die Gerade eine geschlossene Linie ist oder nicht. 
Die Erfahrung ist ausser Stande, diese Frage zu entscheiden, 
ebensowenig kann das darüber gefällte Urtheil Gegenstand 
der geometrischen Anschauung sein. Dass die Gerade eine 
nichtgeschlossene oder eiue unendliche Linie sei, ist nichts 
weiter als eine Redensart, an die man allerdings schon seit 
Euclid gewöhnt ist. 
Sieht man also, wie man es thun muss, von der Un- 
endlichkeit der Geraden ab, so bleiben die meisten der Sätze 
1—28 des ersten Buches der Euclid’schen Elemente nur für 
hinlänglich kleine Figuren richtig. Vom 29. Satze dieses 
Buches an fübrt Euclid sein System mittelst des als Kreuz 
der Geometrie berüchtigten elften Axiomes weiter, welches 
so lautet: „Werden zwei Gerade von einer dritten so ge- 
schnitten, dass die beiden inneren, auf einer Seite der schnei- 
denden Geraden liegenden Winkel zusammen kleiner als zwei 
rechte sind, so treffen sie hinlänglich verlängert auf eben der 
Seite der Schneidenden zusammen ¢. 
Wir müssen auch diese Annahme als unzulässig be- 
