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mindestens ein Dreieck ABC, in welchem die Winkelsumme 
grösser (bezw. kleiner) als 180° ist und zwar sollen seine 
Seiten eine gewisse Grenze nicht überschreiten“. Daraus er- 
gibt sich dann der Satz, dass in jedem Dreiecke die 
Winkelsumme grösser (bezw. kleiner) als 180° ist, 
Wir brauchen ihn nur für Dreiecke, deren Seiten hin- 
länglich klein sind, und zwar für rechtwinklige zu beweisen. 
Dazu leiten wir aus dem Dreiecke ABC dadurch, dass wir eine 
in’s Innere desselben fallende Höhe AD ziehen, ein recht- 
winkliges Dreieck her, dessen Wiukelsumme grösser (bezw. 
kleiner) als 180° ist. Das muss von einem der Dreiecke 
ABD, ACD gelten, denn sonst könnte es auch im Dreiecke 
ABC nicht der Fall sein. Nunmehr ist lediglich zu zeigen, 
dass, wenn wir auf der Kathete AB des rechtwinkligen Drei- 
eckes ABC, worin die Summe der beiden spitzen Winkel ß ¥ 
z. B. grösser als 90° ist, einen Punkt M annehmen, auch 
die der beiden spitzen Winkel ».y des rechtwinkligen Drei- 
eckes ACM grösser als 90° ist. Es ist aber leicht einzu- 
sehen, dass, wenn M die Strecke AB von der Spitze A des 
rechten Winkels aus beschreibt, die Summe y,-+ y beständig 
in demselben Siune sich ändert. Wäre dem nämlich nicht 
so, so müsste es auf AB zwei Punkte M M’ geben, wofür 
die bezüglichen Summen wu --v p’-+v’ einander gleich sind. 
Diese Annahme würde aber auf die Euelid’sche Geometrie 
zurückführen (11). Folglich muss u 4v, da diese Summe 
bei gehöriger Annäherung von M an A vom Grenzwerthe 
90° beliebig wenig abweicht, von 90° bis zu ßB-+y be- 
ständig wachsen, somit stets 90° übersteigen. 
Wenn wir annehmen würden, dass die Winkelsumme in 
einem, also in jedem Dreiecke 180° übersteigt, so würde daraus 
mit Nothwendigkeit folgen, dass wir die Gerade als eine in 
sich zurücklaufende Linie zu betrachten haben. Denn es hat 
bereits Legendre nachgewiesen, dass, wenn das nicht. der 
Fall ist, die Gerade also unendlich ist, die Winkelsumme im 
Dreiecke unmöglich grösser als 180° sein kann, 
Betrachten wir nun noch die letzte Möglichkeit, dass die 
