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Winkelsumme in einem, also in jedem Dreiecke unter 180° 
ligt. Daraus ergibt sich unmittelbar die Einzigkeit des Lothes 
von einem Punkte auf eine jede nicht durch ihn gehende 
Gerade. Sind in einer Ebene zwei Gerade g, h gegeben und 
ist von einem Punkte A der ersteren ein Loth AB auf die 
letztere gefällt, so wächst, während der Punkt M sich auf g 
von A nach derjenigen Seite von AB entfernt, wo der Winkel 
zwischen g und AB nicht unter 90° beträgt, sein Abstand 
MP von h beständig (12). Es gibt somit kein Maximum 
des Abstandes MP. Ziehen wir von einem Punkte aus zwei 
Gerade g, bh, so kehren sie nicht mehr in ihren Ursprung 
zurück d. h. die Gerade ist unendlich. Vermittelst der Un- 
endlichkeit der Geraden gelangen wir jetzt zur Raumform 
von Lobatschewsky. Denn es müssen durch einen Punkt 
ausserhalb einer Geraden h mehr als eine Gerade laufen, 
welche h nicht schneidet. Würden wir nämlich nur eine 
solche Gerade zulassen, so würden wir laut des früher ange- 
führten elften Axiomes wieder zur Euclid’schen Geometrie ge- 
leitet. 
Der Aufbau des geometrischen Systemes bis zu den tri- 
gonometrischen Formeln gestaltet sich in den Nichteuclid’schen 
Raumformen schwieriger als in der Euclid’schen. Loba- 
tschewsky und Bolyai lösten die Aufgabe im Grunde 
dadurch, dass sie in ihrem Raume eine Fläche, die Grenz- 
fläche, nachzuweisen vermochten, auf welcher die Euclid’sche 
Planimetrie Geltung hat. Wie man in allen Nichteuclid’schen 
Raumformen auf die nämliche Weise dieses Ziel erreichen 
kann, hat neuerdings W. Killing in dem kürzlich erschie- 
nenen vortrefflichen Werke: „Die nichteuclidischen Raum- 
formen ® gezeigt, welches an einigen Stellen dieses Vortrages 
benutzt worden ist. Die Formeln der Nichteuclid’schen Geo- 
metrie weichen um so weniger von denen der üblichen Geo- 
metrie ab, je kleiner die betrachteten Figuren sind. 
