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 expliqués que par un relâchement et une contraction de muscles, et comme 

 les paupières ne possèdent, autant que nous le savons, d'autres muscles 

 que des muscles soumis à la volonté, il me semble bien démontré que le 

 grand sympathique agit aussi sur des muscles volontaires. » 



analyse mathématique. — Remarque sur un théorème de M. Cauchy ; 



par M. Hermite. 



« C'est à M. Cauchy qu'on doit la première démonstration générale de 

 la réalité des racines de l'équation remarquable à l'aide de laquelle se dé- 

 terminent les inégalités séculaires des éléments du mouvement elliptique 

 des planètes. Cette équation s'obtient, comme on sait r en égalant à zéro le 

 déterminant du système 



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^t.Jl #2,2 «>•••» a n,2 



a 



I,*? "2,3» "n.î 







&\,n ? #2,« f •••> ^n,i 



dont les éléments a^^ sont des quantités réelles soumises à cette condi- 

 tion, 



» J'ai fait au sujet de cette équation la remarque suivante que l'illustre 

 géomètre a bien voulu m'engager à communiquer à l'Académie. Supposons 

 que les éléments a^,., du déterminant cessent d'être réels et prennent des 

 valeurs imaginaires quelconques, mais avec la condition que a^,., et « V; „ 

 soient des quantités conjuguées. Il est aisé de voir que le nouveau déter- 

 minant ainsi formé et que je nommerai iî, sera essentiellement réel quoique 

 composé d'éléments imaginaires. Il ne change pas de valeur en effet en y 

 mettant — \j— i au lieu de \j — i, car on ne fait ainsi que remplacer « /t(V 

 par a, t lx , c'est-à-dire substituer les colonnes horizontales aux colonnes ver- 

 ticales, et l'on sait bien que cette transposition n'altère pas la valeur d'un 

 déterminant. Cela posé, l'équation il = o conserve la propriété si remar- 

 quable de l'équation & = o, elle a toutes ses racines essentiellement réelles. 

 On peut le démontrer de plusieurs manières, par exemple en transformant 

 le déterminant il. en un autre à éléments réels, d'un nombre double de co- 

 lonnes et symétrique par rapport à la diagonale, de manière à retrouver 

 précisément la forme analytique du déterminant 9. On obtient aussi une 



