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démonstration directe en employant la belle et savante méthode qu'a don- 

 née mon ami M. le D r Borchardt , de Berlin, pour calculer les fonctions de 

 M. Sturm dans le cas de l'équation = o. Quoi qu'il en soit, la réalité des 

 racines une fois établie, on détermine par la règle suivante combien il s'en 

 trouve entre deux limites données O et 9,. Nommons ùi le déterminant du 

 système 



! «1,4 — 0) <h,\ ■>••■■> a i.i 



«1,25 



a, 



«a..,---? a u — Q 



calculé de manière que le terme principal ait le signe -\-, et désignons 

 par (5) le nombre des termes positifs de la suite 



12,, iï 2 ,n 3 ,...,n„. 



» Si l'on suppose 6, > 6 , la quantité (0 o ) sera plus grande que (0,), et 

 la différence (0 o ) — (S,) sera précisément égale au nombre des racines de 

 l'équation Q. = o qui sont comprises entre 6 et 6,. On remarquera que la 

 suite 



12, , i-.j , i2 3 ,..., Ll„ 



est plus simple que la suite des dérivées du premier membre de l'équation 

 proposée qui serviraient d'ailleurs au même usage à cause de la réalité de 

 toutes ses racines, et sans doute il serait possible de passer directement de 

 la seconde suite à la première, comme l'a fait M. Cauchy dans une circon- 

 stance analytique très-semblable ( Comptes rendus, t. XL, p. i32o,). Mais, 

 au point de vue où je me suis placé, l'équivalence des deux suites, comme 

 l'existence d'une infinité d'autres qui jouissent des mêmes propriétés, se dé- 

 duisent immédiatement d'une proposition élémentaire et fondamentale de 

 la théorie des formes quadratiques. Au reste, c'est dans l'étude algébrique 

 des formes quadratiques, mais des formes quadratiques d'une nature toute 

 particulière et dont je vais donner la définition, que vient s'offrir d'une 

 manière directe l'équation ii = o. Leur caractère principal consiste en ce 

 que les indéterminées y sont partagées en deux groupes de variables ima- 

 ginaires, les variables de l'un des groupes étant les conjuguées des variables 

 de l'autre groupe. Ainsi, en représentant in variables imaginaires par 



X 7= x •+- x' y ' — i , Y=j + jv-ivi U — u -h u' \ - 

 X = x — x' y — i, Y = y — f y/— i,..., U = « — u'\l- 



