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 qu'on y représente les courbes par des équations que l'on combine algébri- 

 quement. La question se présente donc intacte en Géométrie rationnelle, et 

 constitue un sujet de recherches qui a sa place naturelle dans le dévelop- 

 pement et les applications des méthodes propres à cette partie des mathé- 

 matiques. Car la Géométrie doit s'efforcer de s'affranchir de la nécessité de 

 recourir aux méthodes de calcul pour résoudre les questions de son do- 

 maine, même quand elles se traduisent par une équation du troisième ou 

 du quatrième degré (*). 



» C'est sous ce point de vue que j'ai l'honneur d'entretenir l'Académie 

 d'une question qui, au premier abord, aurait pu paraître épuisée et peu sus- 

 ceptible de faire ici le sujet d'une communication. 



» Du reste, les solutions auxquelles je suis parvenu reposent sur des 

 considérations de Géométrie nouvelles qui peuvent mériter par elles-mêmes 

 d'être connues, parce qu'elles s'appliquent à d'autres questions impor- 

 tantes. Il s'agit de quelques propriétés de deux séries de segments en invo- 

 lution, entre lesquels on établit une certaine relation fondée sur le rapport 

 anharmonique. 



» On pense bien, sans qu'il soit besoin de le dire, que les sections coni- 

 ques jouent un rôle nécessaire dans nos nouvelles constructions, comme 

 dans celles de la Géométrie analytique. Employer d'autres courbes d'un 

 ordre supérieur, serait une faute de méthode, d'autant plus grave, 

 qu'on peut dire que la destination philosophique et essentielle des 

 sections coniques, en Géométrie, est précisément la résolution des 

 questions qui admettent trois ou quatre solutions, de même % que la 



( *J II est à propos de rappelé» ici que les Arabes ont construit d'une manière générale les 

 racines de l'équation du troisième degré : mais il faut dire que leur méthode ne diffère pas, au 

 fond, de celle de Descartes relative au cas du troisième degré , parce que les propriétés des 

 coniques dont ils faisaient usage n'étaient autres que des cas particuliers de la proposition du 

 rapport constant du rectangle des ordonnées au rectangle des abscisses, qui forme l'équation 

 des courbes dans la Géométrie analytique. Aussi, c'est la résolution des équations du qua- 

 trième degré, où tous les efforts des Arabes ont échoué, qui présentait des difficultés et qui 

 fait le mérite de la méthode de Descartes. Néanmoins le travail des géomètres arabes marquait 

 un pas notable en Géométrie et en Algèbre , et était un acheminement vers une alliance plus 

 intime entre ces deux branches des mathématiques. On dott , comme on sait , la connaissance 

 de ce point historique important à M. Sédillot , qui l'a fait connaître par une analyse étendue 

 d'un Manuscrit arabe de la Bibliothèque impériale (voir Notices et Extraits des Mss., etc , 

 tome XIII). Depuis , M. Woepcke , ayant trouvé dans un Ms. de la Bibliothèque de Leyde le 

 même Traité arabe, mais plus complet que dans le Ms. de Paris, en a publié le texte 

 et une traduction, suivis d'extraits d'autres Mss. inédits, sous le titre: L' Algèbre cTOma? 

 Alhhayyami , etc. ; Paris, i85i, grand in-8". 



