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 propriété essentielle du cercle est de servir à résoudre celles qui en admet- 

 tent deux seulement. 



» Cette considération suffit pour montrer que ces courbes, indépendam- 

 ment de leurs applications dans toutes les sciences qui ressortent des ma- 

 thématiques, forment, au même tilre que le cercle lui-même, une d^s bases 

 fondamentales de la Géométrie, sans laquelle cette science rencontrerait à 

 chaque pas des limites infranchissables, quand, au contraire, le progrès illi- 

 mité forme son caractère propre et son attribut distinctif dans l'ensemble 

 des connaissances humaines. Aussi ne saurait-on trop étudier et étendre la 

 théorie des coniques, qui est encore beaucoup trop restreinte pour les 

 besoins de la Géométrie. 



» Mais revenons au sujet de la présente communication. Je donne deux 

 constructions différentes delà question que je me suis proposée. Dans la . 

 première, on se sert des points d'intersection de deux coniques dont une e$t 

 prise arbitrairement, et dans la seconde, des tangentes communes à deux 

 pareilles courbes, dont une est prise aussi arbitrairement. Les deux construc- 

 tions reposent sur quelques propositions fort simples que je vais d'abord 

 exposer. Ces propositions, comme je l'ai dit ci-dessus, sont susceptibles 

 d'application à d'autres questions, notamment dans la théorie des courbes 

 du troisième et du quatrième ordre. 



II. — Propositions d'où dérive la construction des équations du troisième et du quatrième degré. 



» i er Théorème. — Quand quatre segments Mm, M' m",... ,pris sur une 

 même droite, sont en involution, les pôles d'un point de la droite relatifs à 

 ces segments ont leur rapport anharmonique constant, quel que soit ce 

 point (*). 



» Nous appellerons ce rapport constant rapport anharmonique des quatre 

 segments. 



» 2 e Théorème. — Si d'un point fixe pris sur une conique on mène des 

 droites aux- extrémités de chacun des quatre segments Mnij M'm'^..., les 

 quatre cordes que ces droites interceptent dans la conique, lesquelles, comme 

 on sait, passent par un même point, ont leur rapport anharmonique égal à 

 celui des quatre segments. 



» 3 e Théorème. — Si dans l'équation du troisième degré à deux va- 

 riables 



x 2 (az -+- b)-\- x{a'z -t- b') -+- [a"z -+- b") = o 



(*) Le pèle d'un point relatif à un segment est le conjugué harmonique du point par 

 rapport aux deux extrémités du segment. 



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