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 les variables représentent des segments comptés sur une droite indéfinie OX 

 à partir d'une origine fixe O, de manière qu'une valeur de z détermine un 

 point n, et les deux valeurs correspondantes de x deux points M, m, formant 

 •un segment Mm : i° tous les segments Mm sont en involution; 2 ' les 

 points n correspondent anharmoniquement à ces segments [c est-à-dire que 

 le rapport anharmonique de quatre points n est égal à celui des quatre 

 segments Mm). 



» 4 e Théorème. — Si dans l équation du quatrième degré à deux va- 

 riables 



x*(az* + bz -t- c) -+- x (a'z 2 ■+■ b'z +- c') -+- [a" z* -+- b" z 4- c") = o . 



le déterminant des neufs coefficients est nul, ce qu'on exprime par la rela- 

 tion 



a {b'c" - b"c') + a'{b"c - bc") ■+• a"(bc' - b'c) = o, 



/ej racines conjuguées de l'équation sont doubles, c'est-à-dire que les deux 

 valeurs de x qui correspondent à une valeur donnée de z , correspondent 

 aussi, toutes lés deux à la fois , à une autre valeur de z ; 



» Et si ces couples de racines conjuguées représentent des segments Mm 

 e/Nn sur une même droite, ces segments jouissent des deux propriétés sui- 

 vantes : 



» i°. Les segments Mm sont en involution; et pareillement les seg- 

 ments N n ; 



» 2 . Ceux-ci correspondent anharmoniquement aux premiers, c est-à- 

 dire que le rapport anharmonique des quatre segments Nn est égal à celui 

 des quatre segments M m . 



» D'après ce théorème, trois systèmes de deux segments M /m, IN m suffi- 

 sent pour déterminer tous les autres; et, conséquemment, trois systèmes 

 de couples de racines conjuguées de l'équation suffisent pour déterminer 

 tous les autres systèmes. 



III. — Construction des racines de l'équation du troisième degré 

 A* 3 + Bj; , + Ct + D=o. 



» Qu'on prenne l'équation à deux variables 



( kz ■+- B)x 2 + Cz + D = o, 



qui devient la proposée quand on y fait z = x. Une infinité de systèmes 

 de racines conjuguées de x et de z satisfont à cette équation, et il s'agit de 



