(G8i ) 

 trouver les trois systèmes dans lesquels les deux variables sont égales. Or, 

 pour cela, trois systèmes quelconques suffisent. 



» A cet effet, on prend une conique arbitrairement, et sur cette courbe un 

 point fixe; et au moyen des trois systèmes de valeurs des deux variables, on 

 construit quatre points qui avec le point fixe déterminent une autre co- 

 nique. Cette courbe rencontre la première en trois points, autres que le 

 point fixe, lesquels correspondent aux systèmes de valeurs égales de x et 

 île z, et font connaître les racines de l'équation proposée. 



» Il nous reste à dire comment les systèmes de valeurs conjuguées des 

 deux variables servent à construire les points de la seconde conique. 



» On prend sur une droite indéfinie OX, à partir d'un point fixe O, 

 des segments égaux aux valeurs des deux variables. Ainsi, "donnant à z une 

 valeur arbitraire z', à laquelle correspondent deux valeurs de x (égales et 

 de signes contraires), on prend un segment On égal à z', et deux segments 

 OM, Orn égaux aux deux valeurs correspondantes de x. Un autre système 

 de valeurs des deux variables détermine un autre point n' et un segment 

 correspondant M' m'; et un troisième système, un troisième point n" et un 

 • segment M" m". 



» Ayant pris une section conique quelconque et un point P sur cette 

 courbe, on mène par ce point trois droites aboutissant, l'une au point «, 

 et les deux autres aux extrémités du segment Mm; ces deux dernières 

 interceptent dans la conique une. corde Art qui rencontre la première 

 droite P/i en un point a. Le second point n' et le segment correspon- 

 dant M' m' donnent une deuxième corde A'rt' et un nouveau point a! '. Et 

 enfui au troisième point n" et au segment M" m" correspondent semblable- 

 ment une corde A"rt" et un troisième point a". Les trois cordes concourent 

 en un même point (parce que les trois segments M/n, M' m', M" ni" sont en 

 involution, théorèmes 3 e et 2 e )'. Ce point avec les trois a, a', a" et le 

 point P détermine une conique sur laquelle serait un quatrième point a" 

 construit au moyen d'un quatrième système de valeurs des variables x 

 etz(parce que les points//, //',... correspondent anharmoniquement aux seg- 

 ments N //, N'//', théorème 3 e , et par suite aux cordes Art, A'rt', théorème a e ). 

 Il s'ensuit évidemment que la droite menée du point P à chacun des trois 

 points d'intersection des deux coniques détermine sur la droite OX un 

 point n qui coïncide avec une des extrémités du segment correspon- 

 dant M m; de sorte que pour ce point la variable x est égale à z, et par 

 conséquent le segment Obi est une racine de 1 équation. 



» Ainsi les droites menées du point fixe P aux trois autres points d'in- 



