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tersection des deux coniques déterminent les trois racines de l'équation 

 proposée. 



» Observation. — On peut former autrement, mais non indifféremment, 

 l'équation à deux variables qui devient la proposée quand les variables 

 sont égales. Il suffit et il est nécessaire qu'une des variables n'entre qu'à la 

 première puissance dans l'équation. 



» On peut encore résoudre l'équation du troisième degré à la manière 

 des équations du quatrième degré, comme nous le dirons après avoir donné 

 la construction propre à celles-ci. , 



IV. — Construction des racines de l'équation du quatrième degré 

 x* ■+■ kx s ■+■ Bx* ■+■ Cx 4- D = o. 



» Qu'on prenne l'équation à deux variables 



(a; 2 + Ax)3 !l +Ba? !, + Cx + D = o, , 



qui devient la proposée quand on y fait z ss X. 



» Donnant à x une valeur arbitraire x', on aura pour % deux valeurs 

 z', z" (égales et de signes contraires), et à ces deux valeurs correspondra une 

 même seconde valeur x" de x. On a donc un système de deux couples de 

 racines conjugées. On peut former ainsi une infinité de tels systèmes; et 

 trois suffisent pour déterminer tous les autres. 



» Que Ton porte sur une droite indéfinie OX, à partir du point fixe O, 

 les diverses valeurs des variables x et z. Les valeurs x', x" déterminent 

 deux points M, m, et les valeurs correspondantes z' et z", deux points N, n : 

 ces points donnent lieu aux deux segments Mm, N/i. Pour un autre système 

 de deux couples de racines conjuguées de l'équation, on a deux autres 

 segments correspondants M' m', N'»' 



» Trois couples de segments suffisent pour déterminer tous les autres 

 (théorème 4 e )> et par conséquent tous les couples de racines conju- 

 guées x\ x" et z', z". Mais, en outre, ils suffisent pour déterminer, au 

 moyen d'une construction géométrique, les quatre couples dans chacun 

 desquels les deux segments ont une extrémité commune, auquel cas les 

 deux variables x et z sont égales et constituent une racine de l'équation du 

 quatrième degré. 



» Construction. — Qu'on prenne une conique quelconque, et sur cette 

 courbe un point fixe P. Que par ce point on mène des droites aux quatre 

 points M, wz, N, n. Les deux premières interceptent dans la conique une 

 corde Art, et les deux autres une corde Bb. Un autre couple de segments 



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