( 683 ) 

 Mm',Wri donnera semblablement deux autres cordes A.' a', B'b'; et un 

 troisième couple Win", Wn", deux nouvelles cordes A" a", B"b". Les trois 

 cordes Aa, A' a', A" a" passent par un même point Q (parce que les trois 

 segments Mm, . . . sont en involution), et les trois Bb, B'b', Wb" par un 

 autre point Q'. D'une autre part, les trois premières rencontrent respecti- 

 vement les trois autres en trois points a, a', a". Ces trois points avec les 

 deux Q, Q' déterminent une conique; et cette courbe rencontre la pre- 

 mière en quatre points. Les droites menées du point P à ces points déter- 

 minent sur la droite OX quatre segments qui sont les racines de l'équation. 

 Observation. — On peut former de bien des manières différentes l'équation 

 à deux variables, puisqu'il suffit, d'après le théorème 4% q ue l es coeffi- 

 cients satisfassent à une condition unique fort simple. Ainsi, on pourra 

 prendre les équations 



z 2 {x* -+- Ax -h B) + Cx + D = o, 



*•(*■*+ Ax + B) + Cz + D F o, 



(x> + Ax)z> + Bxz + ï^^^ + C ^^ï™ z + D = o., 

 mais non celles-ci : 



(x 3 h- Ai-) z a -+- Bxz -+- Cx -+- D = o, 

 (jc a 4- B)z a -f- Ax a z-\-Cx+D = o. 



» application aux équations du troisième degré. — La construction pré- 

 cédente s'applique aux équations du troisième degré de deux manières, 

 qui diffèrent de la méthode directe propre à ces équations. 



» Première manière. — On suppose le dernier terme D nul , et l'on effec- 

 tue la construction relative à l'équation du quatrième degré 



x*+ A.r 3 4-B.r a + C.r = o, 



au moyen, par exemple, de l'équation 



( x 2 ■+■ Ax) z 2 + Bx 2 -t- Cx = o. 



Alors les trois segments Mm ont leur origine commune au point O, et le 

 point de concours des trois cordes Aa est situé sur la conique C prise ar- 

 bitrairement. La conique que l'on construit passe par ce point, auquel 

 correspond sur l'axe OX une racine nulle; et les trois autres points d'inter- 

 section des deux coniques donnent les trois racines de l'équation du troi- 

 sième degré. 



