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 » Deuxième mon ère. — On peut opérer directement sur l'équation du 

 troisième degré 



a;'+Ax ! + Bx -+- C = o, 



de la même manière que sur l'équation générale du quatrième degré. ' 

 » On prendra une équation à deux variables, telle que 



x 2 (z -h X) + (A — X) z*+ Bz -+- C = o, 



ou, plus généralement, 



x 2 {bz + c) + x (a'z* -hb'z + c') + a" z- + b"z + c" z = o, 



pourvu que ses coefficients satisfassent à la relation 



à{b"c - bc") ■+- a"{bc'- b'c) = o, 



et, en outre, à la condition que l'équation devienne la proposée quand on 

 y fait z = x. 



» C'est cette équation dont on déterminera trois couples de racines con- 

 juguées qui, au moyen d'une conique prise arbitrairement, serviront à en 

 construire une autre dont les points d'intersection avec la première donne- 

 ront les racines cherchées. 



» Ici peut se présenter une objection, car les deux coniques se coupe- 

 ront en quatre points qui sembleraient donner quatre racines au lieu 

 de trois. Mais un de ces points est connu à priori ; il répond au système de 

 valeurs x = oo et z = ao qui, effectivement, satisfont à l'équation à deux 

 variables, mais introduisent une racine étrangère à l'équation du troisième 

 degré. 



V. — Autre mode de construction des équations du troisième et du quatrième degré. , 



» Équations du troisième degré. — Après avoir déterminé sur une droite 

 indéfinie OX les trois points n, «', n" et les segments correspondants M/;;, 

 M' m', M" m", comme dans là première solution, on prend arbitrairement 

 une section conique tangente à la droite. OX en un quelconque de ses points. 

 Par les deux points M, m on mène deux tangentes à cette courbe, lesquelles 

 se rencontrent en un point a. Les deux points M', m' donnent lieu sem- 

 blablement à un point a', et les deux M", m" à un pointa". Ces trois points 

 sont sur une même droite L. On joint ces points respectivement a*ux 

 points n, «', ri* par trois droites, qui avec la droite L et la droite OX dé- 

 terminent une conique qui leur est tangente. Cette conique et celle qu'on 



