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 proche tellement de l'unité, non-seulement les grandes racines, mais même 

 les plus faibles fractions, qu'on pourra prendre cette unité même pour pre- 

 mière approximation, et isolant un des termes de l'inconnue, dans le pre- 

 mier membre de l'équation, on obtiendra ordinairement une nouvelle 

 valeur plus approchée, qui servira de même pour en obtenir de nouvelles 

 de plus en plus exactes : mais si la progression devenait trop lente, ou si 

 même les différences des valeurs obtenues marchaient en sens inverse, 

 augmentant au lieu de diminuer, ce qui pourrait arriver parfois, alors la 

 progression des différences obtenues donnera proportionnellement mieux 

 les nouvelles approximations à employer. En général, en isolant dans le 

 premier membre de l'équation chacun des termes de l'inconnue, on ob- 

 tiendra une nouvelle racine. Pour montrer la rapidité du décroissement et 

 de la convergence vers l'unité, il suffira de chercher la racine dixième des 



limites rooet — , qu'on trouvera i . 58 et o.63, dont la différence est 



IOO n 



moindre que l'unité, et réduite de moins qu'au centième. 



* En 1837, M. Graffe, professeur à Zurich, en réponse au prix proposé 

 par l'Académie de Berlin, proposa une méthode, inverse de la précédente, 

 ou procédant par l'élévation des puissances des racines. Ce procédé, dont 

 les avantages ont été surtout le plus appréciés en Allemagne, n'a été préco- 

 nisé en France que depuis peu d'années, peut-être parce qu'il est assez 

 laborieux, et qu'il échoue lorsqu'on vient à rencontrer quelqu'une des 

 racines de l'unité; car dans ce cas, l'élévation aux puissances ne peut plus 

 produire l'augmentation nécessaire à la séparation des racines. Mais lors 

 même que celles-ci ne seraient pas exactement des racines de l'unité, il suffi- 

 rait qu'elles en fussent assez rapprochées, pour être entraîné à des calculs 

 qui pourraient excéder la patience de tout calculateur. C'est ainsi qu'il nous 

 est arrivé parfois d'atteindre ces limites à des puissances de plusieurs mil- 

 liers de fois plus élevées, sans parvenir à la racine. "Nous reconnaissons ce- 

 pendant les avantages de cette méthode, et ne prétendons nullement établir 

 aucune comparaison. avec la précédente, que nous ne proposons que comme 

 un moyen facile et commode d'obtenir promptement de premières valeurs 

 des racines, aussi exactes que le permettront les. Tables de logarithmes, 

 et qu'on étendra ensuite d'après la méthode d'approximation de Newton, 

 à laquelle, malgré qu'elle ait été peut-être trop dépréciée, on continue tou- 

 jours d'avoir recours, même avec la méthode de M. Graffe; car il n'est 

 guère de méthode qui n'ait ses conditions de réussite et ses cas d'exception. 



» Nous emprunterons l'exemple suivant d'une forte racine au Diction- 



