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m, n étant deux variables réelles. Enfin soient 



<&(m + n\J— T) = M + Nv/— i, Q(m — ny[^l) = M — TXyf^l, 

 Y(« + /i V / := T) = P-|-Q\/~, Y(m-ns/^7}= P-Qy/37, 



M, N, P, Q étant des fonctions réelles de m et de n. On aura 



x = J(dM — rfQJsin wz (e" + e"") — f(rfN-+- rfP) cosm(e"-e-"), 



y = J(dM-dQ) cosm(e n + e~ n )-+- f(^N + rfP) sin m(e» - <r n )> 



z = — a(N+P). 



» Ces nouvelles formules, quand on laisse les fonctions $ et W complète- 

 ment arbitraires, représentent, aussi bien que les formules ci-dessus, l'inté- 

 grale générale de l'équation (A). Elles ont, sur celles-ci et sur les formules 

 "de Monge, l'avantage de donner des solutions réelles, quand ces mêmes 

 fonctions sont soumises à la restriction indiquée. 



» 2 . Si, par exemple, 



$ (m -+- n \/— i) = cos (m + n J— i), Y (m -+- n \J— i) = o, 

 on trouve 



i 



x = j sin 2 m ( e in -+- e~ 2n ) — m, 



y — j cos 2 m (e an ■+■ e~ 2n ), 

 z = sin m ( e" — e~ n ). 



» La surface représentée par ces trois équations peut être engendrée de 

 la manière suivante : 



» Soient la cycloïde OSA décrite par le point S appartenant à l'a circon- 

 férence CI, et la cycloïde OPB, enveloppe du rayon mobile CS, P étant le point 

 de contact. Si l'on conçoit, dans un plan perpendiculaire à celui de la 

 figure, une parabole dont la directrice soit projetée en P, et qui ait S pour 

 sommet, cette courbe {variable de grandeur) engendre la surface. 



» 3°. Jusqu'à présent on n'a pas , que nous sachions, donné d'exemple 

 d'une surface minimum algébrique. Pour que les formules ci-dessus repré- 

 sentent de pareilles surfaces, il suffit que les variables m, n, y entrent , la 

 première seulement sous les signes sinus et cosinus, la seconde en exposant. 

 Ces conditions, auxquelles on peut satisfaire d'une infinité de manières, 



