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indistinctement deux points dans la première } on en conclura que tous ces 

 couples de points sont en involution, et qu'ils correspondent anharmonique- 

 ment aux points uniques de la seconde série. 



» C'est-à-dire que les segments formés dans la première série par les 

 couples de points qui correspondent à des points de la seconde série sont 

 en involution, et que le rapport anharmonique de quatre segments (i) est 

 égal à celui des quatre points auxquels correspondent ces segments. 



» IX. Exemples. — Que de chaque point n d'une droite on mène deux 

 tangentes à une conique, lesquelles rencontrent une tangente fixe en deux 

 points m, M. Nous dirons qu'à ce point n de la droite correspondent sur la 

 tangente deux points ;«, M ; mais à un de ces points ne correspond sur la 

 droite qu'un point n. Donc les couples de points m, M sont en involution 

 et correspondent anharmoniquement aux points n. 



» X. Considérons une série de coniques passant par quatre mêmes 

 points, et que par un de ces points a on mène une transversale qui ren- 

 contrerales coniques en des points n, n', etc.; une autre droite fixe L menée 

 arbitrairement rencontrera ces courbes en des couples de points /», M ; 

 m', M'; etc. Je dis que ces couples de points sont en involution et qu'ils cor- 

 respondent anharmoniquement aux points n, n', etc. En effet, à un point n 

 de la transversale correspondent deux points m, M sur la droite L; mais à 

 un point m de cette droite ne correspond qu'un point n sur la transver- 

 sale, puisque par un point m on ne peut mener qu'une conique. Donc, 

 d'après la proposition , les deux parties du théorème sont démontrées. 



» La première partie du théorème, savoir, que les segments m M sont en 

 involution, est bien connue; la seconde, que ces segments correspondent 

 anharmoniquement aux points n, complète le théorème et le rend propre à 

 de nouvelles et très-nombreuses applications (2). 



» Remarque. — On conclut de là que : Ayant une série de segments m M 

 en involution sur une droite, si par trois points fixes a, b, c on mène une 

 série de coniques qui passent, chacune respectivement, par les extrémités 

 de chaque segment, toutes ces coniques passeront par un quatrième point 

 commun, et correspondront anharmoniquement aux segments. Cette re- 

 marque nous sera utile plus loin. 



(1) Voir, pour ce que nous appelons le rapport anharmonique de quatre segments en 

 involution, les Comptes rendus des Séances de t Académie , t. XL1 , p. 679 ; séance du 

 29 octobre i855. 



(2) Par exemple, si l'on joint chaque point n aux deux points correspondants m, AI par 

 deux droites nm, nM, toutes les droites ainsi déterminées enveloppent une conique. 



