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nouvelles preuves de la facilité et des ressources singulières que ce principe 

 doit apporter dans toutes les recherches de Géométrie. 



» XIV. Construire la courbe du troisième ordre déterminée par neuj 

 points. Soient ri, b, c, a', b', c', e\ f, g les neuf points. Concevons qu'on 

 ait, sur une droite D, une série de segments Mm en involution, et que, par- 

 les deux systèmes de trois points a, b, c et a', b', c', on mène deux coniques 

 passant par les extrémités de chaque segment. On formera ainsi deux fais- 

 ceaux de coniques, dont les unes passeront par les trois points rz, b, c et un 

 quatrième d, et les autres par les trois points a', b', c' et un quatrième r/', 

 et qui se correspondront anharmoniquement, puisqu'elles correspondent 

 aux segments suivant lesquels elles se coupent deux à deux. Or deux coniques 

 correspondantes se coupent en deux autres points, et le lieu de ces points 

 est une courbe du troisième ordre. Pour le prouver, il suffit de faire voir 

 qu'une droite quelconque L ne rencontre ce lieu qu'en trois points. Et, en 

 effet, les deux faisceaux de coniques qui se coupent deux à deux anhar- 

 moniquement déterminent sur une droite deux séries de segments en invo- 

 lution et se correspondant anharmoniquement ; par conséquent, il existe 

 sur la droite quatre points dont chacun est une extrémité commune à 

 deux segments correspondants (Comptes rendus, t. XLI, p. 680), lesquels 

 points appartiennent à la courbe, ce qui prouve que la courbe est du 

 quatrième ordre. Mais ici la droite D fait partie de la courbe. Donc elle 

 se réduit au troisième ordre. Cette courbe du troisième ordre passe par les 

 huit points a, b, c, d, a', b\ c', d'. 



» Cela posé, il est aisé de prendre la droite D et sur elle la série des seg- 

 ments m M, de manière à faire passer la courbe par les trois autres points 

 donnés e, j\ g. 



» A cet effet, qu'on conçoive les deux coniques (a, b, c, e, f), (a\ b', 

 c', e, j) passant toutes deux par les deux points e, f. Ces deux coniques se 

 coupent en deux autres points e, <p (réels ou imaginaires) situés sur. une 

 droite D facile à déterminer. 



» Concevons deux faisceaux de coniques (a, b, c, g) et (a', b',c', g), 

 c'est-à-dire passant, les unes par les quatre points a, b, c , g, et les autres 

 par les quatre points a', b' c\ g. Ces courbes forment sur la droite D deux 

 séries de segments en involution ; et ces deux séries ont un segment com- 

 mun (jljui, facile à déterminer, car c'est le segment qui est divisé harmoni- 

 quement par les deux points doubles de la première involution, et aussi 

 par ceux de la seconde. Qu'on prenne sur la droite D la série de seg- 

 ments en involution mM déterminée par les deux segments s m, pp., ; la 



