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courbe du troisième ordre , lieu des points d'intersection des coniques 

 telles que (a, b,c, m, M) et (a', b', c', m, M) sera la courbe demandée. 



» Cette construction de la courbe du troisième ordre qui passe par neuf 

 points est différente des trois que j'ai déjà fait connaître ( Comptes rendus , 

 t. XXXVI, p. 943; t. XXXVII, p. 272; et t. XL, p. 82a.) 



» XV. Construire la surface du second ordre déterminée par neuf 

 points. Soient a, b, c, d, e,f; g, h, i les neuf points. Nous allons construire 

 les courbes d'intersection de la surface par les plans qui passent par ces 

 points pris trois à trois. 



» Appelons P, P', P" les trois plans (abc), (def) et (gin); L la droite d'in- 

 tersection des deux P" et P ; L' celle des deux P et P' ; L" celle des deux 

 P' et P". Les coniques d'intersection de la surface par les deux plans P et P" 

 rencontrent la droite L aux deux mêmes points; ce sont ces deux points 

 qu'il s'agit de déterminer. 



» Concevons que par un point n pris arbitrairement sur la droite L et 

 par les trois points a, b, c, on fasse passer un faisceau de coniques 2, les- 

 quelles rencontreront la droite L en des points ri et la droite L' en des 

 couples de points m,, M, ; et que par ces couples de points et les trois d, e,J, 

 on fasse passer des coniques 2', lesquelles rencontreront la droite L" en des 

 couples de points tn 2 , M 2 ; et enfin que par ces couples de points et les 

 trois g, h, n on fasse passer des coniques 2", qui rencontreront la droite L en 

 des points in'. Je dis que ces points m' correspondent anharmoniquement 

 aux points ri . En effet, les points ri correspondent anharmoniquement aux 

 segments m, M, ( § X, ci-dessus), ceux-ci aux segments w 2 M 2 , et ces derniers 

 aux points m'. Donc les points m' correspondent anharmoniquement aux 

 points ri : en d'autres termes, ces deux séries de points sont homographi- 

 ques. Doncefles ont deux points doubles, c'est-à-dire deux points en chacun 

 desquels coïncident deux points correspondants ri et ni'. Mais il est évident 

 qu'un de ces points est situé à l'intersection des trois droites L, L', L". II lie 

 reste donc qu'un autre point m, qui jouit de cette propriété, que la coni- 

 que 2. menée par les deux points n, m donne lieu à une conique 2" passant 

 aussi par ces deux points. Ces deux coniques appartiennent à la surface 

 du second ordre qui passe parles neufs points a, b, c, d, e,f, g, h et n. 



» Ainsi, à un point n pris arbitrairement sur la droite L correspond un 

 point m; et réciproquement à un point m correspond un point n. Donc ces 

 deux points forment deux séries homographiques. Mais, en outre, ces 

 deux séries sont en involution. Car si le point m de la deuxième série. 



