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qui correspond au pointera de la première, est regardé comme appartenant à 

 la première série, il lui correspondra dans la deuxième le point n lui-même, 

 parce que dans l'un et l'autre cas on obtiendra toujours les deux mêmes 

 coniques 2, 2". Donc les segments mn sont en involution. 



» Il suffit de déterminer deux de ces segments mn, m' n'; tous les autres 

 s'ensuivront. Chacun de ces segments donne lieu à deux coniques!, 2" qui 

 passent par ses deux extrémités. Si 2" passait parle neuvième point donné i 

 dont on n'a pas encore fait usage, le problème serait résolu. Or, il est extrê- 

 mement facile de déterminer le segment mn qui satisfait à la condition que 

 la conique 2" déterminée par ce segment passe par le point i : car toutes les 

 coniques 2" passent parles deux points g, h et interceptent sur les deux droites 

 L, L" des segments qui appartiennent à deux involutions ; il s'ensuit qu'elles 

 passent toutes par deux autres points communs g', /*'; il faut donc décrire la 

 conique déterminée par les quatre points g, h, g', h' et par le point i; c'est 

 la courbe appartenant à la surface du second ordre qui passe par les neuf 

 points donnés. 



» Remarque. — Cette construction s'applique à plusieurs cas particu- 

 liers, notamment a celui-ci : Étant donnés trois points sur une courbe h 

 double courbure quelconque, construire la surface du second ordre oscu- 

 latrice à la courbe en ces trois points. 



» XVI. Nous avons vu ci-dessus (VII) que les génératrices d'un même 

 système de génération del'hyperboloïde à une nappe forment sur deux géné- 

 ratrices quelconques de l'autre système deux divisions homographiques. 

 Cette propriété de l'hyperboloïde donne lieu naturellement à cette question : 

 Quelles sont les relations qui ont lieu entre les deux séries de points que les 

 génératrices d'un même système forment sur les deux coniques provenant 

 de l'intersection" de l'hyperboloïde par deux plans quelconques? Nous 

 allons reconnaître immédiatement que ces deux systèmes de points forment 

 deux figures homographiques. En effet, soient C, C les deux coniques, 

 a, i, c, . . . , o et à', b', c', . . . , o', les deux systèntes de points inarqués 

 sur ces deux courbes par les génératrices. Considérons les deux faisceaux 

 de droites oa, ob, oc, . . . , et o'a', o ' b' , o'c', .... A un point a sur la co- 

 nique C ne correspond qu'un point a sur la conique C, et réciproquement. 

 Donc à une droite oa ne correspond qu'une droite o'a', et réciproquement. 

 Donc les deux faisceaux de droites sont homographiques . Pareillement, si 

 l'on prend sur les deux coniques deux autres points w, w' appartenant à une 

 même génératrice, les deux faisceaux de droite w<7, wb, . . . , et «'a', Wi'b',..., 



