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» Soit donc un arc de cercle AB sur lequel on veut trouver un point fai- 

 sant, à partir du point A, un arc égal au tiers de AB. 



» Qu'on prenne sur l'arc AB un arc quelconque Am, et à partir du 

 point B, dans la direction BA, un arc Bn, double de Am ; à chaque point 

 m correspond ainsi, sur la circonférence, un point ra; mais, à un point n, 

 correspondent deux arcs Am, AM différant entre eux d'une demi-circonfé- 

 rence. Et si l'on mène du point B(ou d'un autre point quelconque de la 

 circonférence) les droites Bm et Bn, on dira qu'à une droite Am ne corres- 

 pond qu une droite Bn, et qu'à une droite B« correspondent deux droites 

 Bm, BM (lesquelles sont rectangulaires). Il s'ensuit que les couples de droites 

 But, BM forment une involution, et correspondent anharmoniquement aux 

 droites Bre. Donc les cordes Bn rencontrent les cordes mM, disons les dia- 

 mètres Om, en des points dont le lieu est une conique qui rencontre la 

 circonférence en trois points autres que le point B, lesquels points forment 

 les trois solutions de la question. 



» Ainsi la construction se réduit à mener un diamètre Om et une corde 

 Bn, sous-tendant un arc pris dans la direction BA, double de l'arc Am, 

 compté dans la direction AB; le point d'intersection de ce diamètre et de la 

 corde décrit la section conique qui coupe la circonférence dans les trois 

 points cherchés. 



» On parvient encore immédiatement à cette construction en remar- 

 quant simplement que le diamètre Om et la corde Bn font des angles égaux 

 dans des sens de rotation différents, l'un avec le diamètre fixe OA, et l'autre 

 avec la tangente au point B; de sorte que ces deux rayons, tournant autour 

 des deux points O et B, décrivent deux faisceaux homographiques, et leur 

 point d'intersection décrit une hyperbole dont les points de rencontre avec 

 la circonférence sont les points où les deux rayons tournants se croisent sur 

 la circonférence, et pour lesquels, par conséquent, l'arc Bn est double 

 de l'arc A m. 



» Remarque. — Pour appliquer cette construction à l'arc de section 

 conique, comme il a été dit ci-dessus, on prend arbitrairement une corde 

 Am, puis on détermine la corde Bn, de la manière suivante : on conçoit 

 une conique concentrique et homothétique à la proposée et tangente à la 

 corde Am, et l'on inscrit dans la conique proposée deux cordes consécu- 

 tives, à partir du point B, lesquelles soient tangentes à la nouvelle conique; 

 l'extrémité de la seconde corde marque le point n, et la corde Bn ren- 

 contre la première A m en un point dont le lieu est une conique; cette 



