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 Si l'on conçoit plusieurs coniques passant par ces quatre points, elles déter- 

 mineront dans la première courbe des cordes concourantes toutes en un 

 même point P que nous avons appris à déterminer en traitant delà Construc- 

 tion de la courbe du troisième ordre déterminée par neuf points (Voir Comptes 

 rendus de l'Académie des Sciences, tome XXXVI, page o,5r, année i853). 

 Pareillement, les coniques interceptent dans la seconde courbe des cordes 

 qui passent par un même point P'. Or ces cordes correspondent anharmoni- 

 quement aux premières, parce qu'elles correspondent anharmoniquement 

 aux coniques elles-mêmes, c'est-à-dire aux polaires d'un même point par rap- 

 port à ces courbes. Il s'ensuit que les cordes du premier faisceau rencon- 

 trent respectivement celles du second en des points situés sur une conique 

 qui passe par les deux points P, P'. Mais il est évident que cette courbe passe 

 par chacun des cinq points d'intersection des deux courbes du troisième ordre, 

 autres que les quatre a, b, c, d. Cette courbe est donc la conique demandée. 



» Nous avons vu comment on construit les cordes que les coniques inter- 

 ceptent dans chacune des deux courbes du troisième ordre ( Comptes rendus, 

 ibid.). Ainsi le problème est résolu. 



» III. Observation. — On remarquera que non-seulement la conique dé- 

 terminée par les cinq points d'intersection inconnus des deux courbes se 

 trouve construite, mais qu'on détermine directement, et à priori, le sixième 

 point d'intersection de cette conique avec chacune des deux courbes, savoir 

 le point P et le point P'. La position de ces points sur la conique constitue 

 unepropriété très-importante des deux courbes du troisième ordre, dont les 

 conséquences s'étendent sur la plupart des propositions qui font le sujet de 

 cette communication. 



» Ajoutons qu'outre les deux points P et P', on peut déterminer immé- 

 diatement trois autres points de la conique et construire ainsi cette courbe, 

 sans qu'il soit nécessaire de se servir d'aucune conique passant par les 

 quatre points a, b, c, d. En effet, les deux côtés opposés ah, cd du qua- 

 drilatère abcd interceptent dans les deux courdes deux cordes dont le point 

 d'intersection appartient à la conique cherchée : et de même le point d'in- 

 tersection des deux cordes interceptées par les deux autres côtés ad, bc, 

 et celui des deux cordes interceptées par les deux diagonales ac, bd. 



» IV. La question précédente peut offrir de l'intérêt en Analyse, car 

 elle résout géométriquement une question d'algèbre, savoir : Etant 

 données deux équations du troisième degré à deux variables dont on connaît 

 qiuitre systèmes de racines communes, on demande de former une équation 

 du second degré entre les mêmes variables, à laquelle satisfassent les cinq 

 autres systèmes de racines communes aux deux équations proposées. 



