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» V. Toutes les courbes du troisième ordre menées par huit points pas- 

 sent par un neuvième. — Construction de ce neuvième point. — Relation 

 entre les neuf points. 



» Soient a, b, c } d, e, /, g, h les huit points, et 2 une des courbes 

 qui passent par ces points. Soit P le point de concours des cordes sous- 

 tendues dans cette courbe par le faisceau de coniques menées par les 

 quatre points a, b, c, d. D'après l'observation précédente (III), le neuvième 

 point d'intersection de cette courbe par une des autres se trouve sur la 

 conique déterminée par les cinq points e,f, g, h et P ; c est le point d'inter- 

 section de la courbe 2 par cette conique; ce point est donc toujours le 

 même quelle que soit l'autre courbe : ce qui démontre la proposition. 



» Sachant construire une conique menée par les quatre points e,f\ g, h, 

 sur laquelle se trouve le neuvième point cherché, on en construira sembla- 

 blement une deuxième passant par les quatre points d,f, g, h et sur la- 

 quelle se trouvera de même le neuvième point. Ce point sera donc déter- 

 miné par l'intersection de ces deux coniques, qui ont trois points communs 

 connus à priori. 



» Ces coniques constituent une relation entre les neuf points; mais cette 

 relation peut prendre une expression beaucoup plus simple. En effet, le 

 neuvième point i étant sur la conique (a,b, c,d,V), les quatre droites 

 ia, ib , ic , id ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre 

 Va, Vb, Pc, Vd. Mais celui-ci est égal à celui des quatre coniques menées 

 par les quatre points a, b, c, d, et passant chacun, respectivement, par 

 chacun des quatre autres e,f,g, h (Comptes rendus, t. XXXVI, p. o,5i); on 

 a donc cette relation entre les neuf points : 



» Le rapport anharmonique des quatre droites menées d'un des neuf 

 points à quatre autres, est égal à celui des quatre coniques menées par les 

 quatre points testants et passant, respectivement, par les mêmes points 

 que les quatre, droites . 



». VI. Si par sept points d'une courbe du troisième ordre U on fait passer 

 d'autres courbes quelconques du même ordre 2,- 2',..., les cordes que 

 celles-ci interceptent dam la pi entière passent toutes par un même point de 

 cette courbe. 



» Soient a, b, c, d, e,f, g les sept points de U par lesquels on mène 

 les courbes 2, 2',...; et m, n les deux autres points d'intersection de la 

 courbe U par la courbe 2; la droite mn est la corde interceptée dans D 

 par 2. Soit P le point par lequel passeraient les cordes qu'une série de 

 coniques menées par les quatre points a, b, c, d intercepteraient dans la 

 courbe U. Ce point et les cinq e,f, g, m, n sont sur une même conique (II). 



