( "ï)3 ) 



Il s'ensuit que mn est la corde interceptée dans la courbe U par une co- 

 nique passant par les quatre points fixes e,f, g- et P. Pareillement la corde 

 m'n' interceptée dans la courbe U par une autre 2', peut aussi être consi- 

 dérée comme interceptée par une autre conique passant de même par les 

 quatre points e,f, g et P. Donc toutes les droites mn, m'n',... sont les 

 cordes interceptées dans la courbe U par un faisceau de coniques passant 

 par les quatre mêmes points e,j, g, P. Donc ces droites passent toutes par 

 un même point de la courbe U : ce qu'il fallait démontrer 



» Remarque. — Si l'on conçoit une autre courbe U' passant comme U par 

 les sept points a, b, etc., les cordes que les courbes 2, T ... intercepteront 

 dans cette courbe passeront par un même point P'. Il suit de là que la 

 droite PP' est la corde commune aux deux courbes U, U'; de sorte que les 

 deux points Pj P', qu'on sait déterminer, résolvent cette question : 



» Connaissant sept des neuf points d'intersection de deux courbes du 

 troisième ordre, construire la droite sur laquelle se trouvent les deux 

 autres, sans connaître ces points. 



» VII. Connaissant cinq des neuf points d'intersection de deux combes 

 du troisième ordre, construire les quatre autres. 



» Soient a, b, c, d, e les cinq points connus, ety, g, h, i les quatre points 

 cherchés. On construira par la proposition II une conique passant par ces 

 quatre points et l'un des premiers, par exemple , par le point e, et une co- 

 nique passant par les quatre mêmes points et par le point d. Les points 

 d'intersection de ces deux coniques seront les quatre points cherchés Ainsi 

 le problème est résolu. 



» VIII. Connaissant deux des six points d' intersection d'une courbe du 

 troisième ordre et d'une conique, trouver les quatre autres. 



» Appelons U la courbe du troisième ordre et C la conique ; et soient a, 

 èles deux points d'intersection connus. Pour déterminer les quatre autres, 

 il faut construire une deuxième conique qui passe par ces quatre points. A 

 cet effet, soient c, d deux des points donnés de la courbe du troisième 

 ordre; qu'on regarde la droite cd et la conique C comme formant une 

 ligne du troisième ordre, et que l'on construise, comme dans la proposi- 

 tion II, la conique U qui passe par les cinq points d'intersection de cette 

 ligne et de la proposée U, autres que les quatre a, b, c, d qui sont con- 

 nus. Le problème sera résolu. 



» IX. Cette construction sert à résoudre la question suivante : 



» Construire les quatre tangentes que l'on peut mener à une courbe du 

 troisième ordre par un point donne' sur la courbe. 



C. R.,i855,2"»Semeî/re. (T. XLI,N°27.) 1 55 



