( "94 ) 



» Cette question se ramène évidemment à la précédente, au moyen du 

 théorème suivant : 



» Si autour d'un point P d'une courbe du troisième ordre onjait tourner 

 une transversale qui rencontre la courbe en deux autres points, et qu'on 

 prenne le conjugué harmonique du point P par rapport à ces deux points, le 

 lieu de ce point conjugué est une conique tangente à la courbe au point P et 

 la rencontrant en quatre points qui sont les points de contact des tangentes 

 menées par le point P. 



» La démonstration de cette proposition est une conséquence facile du 

 mode de construction des courbes du troisième ordre au moyen d'un fais- 

 ceau de coniques coupées par un faisceau de droites qui leur correspondent 

 anharmoniquement. 



» En effet, concevons qu'on prenne sur la courbe quatre points a, b, c, d 

 tels, que les deux cordes ab, cd rencontrent la courbe en deux autres points 

 situés en ligne droite avec le point donné P, ce qui se peut faire même en 

 prenant arbitrairement trois des quatre points. Un faisceau de coniques me- 

 nées par ces quatre points interceptent dans la courbe des cordes passant 

 toutes par le point P et correspondant anharmoniquement aux coniques. Les 

 polaires du point P relatives à ces coniques passent par un même point P' et 

 correspondent aussi anharmoniquement aux coniques, et par conséquent 

 aux cordes. Donc chaque polaire rencontre chaque corde correspondante 

 en un point dont le lieu est une conique passant par les deux points P et 

 P'. Mais ce point, étant situé sur la polaire du point P, est le conjugué 

 harmonique du point P par rapport aux deux extrémités de la corde. 

 Donc, etc. 



» X. Construire les points d'intersection d'une courbe du troisième ordre 

 par une droite. 



» Soient a, b, c, d, e,j, g, A, i les neuf points qui déterminent la courbe, 

 et D la droite. Soit P le point de concours des cordes que les coniques me- 

 nées par les quatre points a, b, c, d interceptent dans la courbe. Ces coni- 

 ques forment sur la droite D des segments mM, et les cordes qu'elles inter- 

 ceptent dans la courbe rencontrent cette droite en des points n qui corres- 

 pondent anharmoniquement aux segments. Par conséquent, si l'on conçoit 

 une conique quelconque, un cercle par exemple, passant par le point P, les 

 angles ayant leur sommet commun en ce point et sous-tendant ces segments 

 intercepteront dans ce cercle des cordes passant par un même point Q et 

 rencontrant les droites V n en des points dont le lieu est une conique passant 

 par les deux points P et Q. Les droites menées du point P aux trois autres 



