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 points d'intersection de cette conique et du cercle marquent sur la droite D 

 les trois points cherchés. 



» XI. Quand un de ces points est connu, on peut trouver les deux autres 

 par cette construction même; mais, puisqu'il s'agit ici d'une question qui 

 n'admet que deux solutions, il est préférable, et conforme même aux règles 

 de la méthode en Géométrie, d'employer une construction qui n'exige, 

 même dans l'exposition théorique, que la ligne droite et le cercle. Celle qui 

 suit satisfait à cette condition. 



» Soient a, b, c , d, e,f, g, h, i les neuf points qui déterminent la courbe 

 du troisième ordre, et D la droite passant par le point a, dont il s'agit de 

 trouver les deux autres points d'intersection avec la courbe. Qu'on cherche 

 le point P par lequel passent toutes les cordes que les coniques menées 

 par les quatre points a, b, c, d, et chacune, respectivement, par chacun des 

 autres, e, y,..., interceptent dans la courbe. Ces coniques rencontrent la 

 droite D en des points s, <p,... ; et les droites Ve, P/,... rencontrent la même 



droite en d'autres points e',ç', Ces deux séries de points sont homogra- 



phiques, en vertu de la loi de correspondance anharmonique [Comptes ren- 

 dus, tome XLI, page 1099). Ces deux séries ont donc deux points doubles 

 faciles à déterminer, et qui sont évidemment les points d'intersection de la 

 courbe du troisième ordre par la droite proposée. 



'» XII. Trouver la direction des asymptotes de la courbe du troisième 

 ordre déterminée par neuf points. 



» En d'autres termes, mener par un point, pris arbitrairement, les paral- 

 lèles aux trois asymptotes de la courbe. 



» Cette question est un cas particulier de celle ci-dessus (X), où l'on 

 demande de trouver les points d'intersection de la courbe par une droite. 

 Ici la droite est située à l'infini. D'après cela, soit P le point de concours 

 des cordes qu'un faisceau de coniques 2, 2', ..., menées par quatre des neuf 

 points donnés interceptent sur la courbe; que l'on ait une conique quel- 

 conque, un cercle, par exemple, passant par ce point, et qu'on prenne 

 les cordes interceptées dans ce cercle par les couples de droites menées 

 par le point P parallèlement aux asymptotes des coniques 2,2',...; ces 

 cordes, qui passent par un même point Q, parce que les couples de droites 

 sont en involution, rencontrent, respectivement, les cordes interceptées 

 dans les coniques en des points dont le lieu est une conique qui ren- 

 contre le cercle en trois points; et les droites menées du point P à ces 

 points sont les parallèles aux asymptotes. 



» XIII. — Étant données deux courbes du troisième ordre ayant chacune 



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