( i 196 ) 

 un point double ou conjugue ', en'un même point connu, construire la conique 

 qui passe par les cinq autres points d'intersection des deux courbes. 



» Soit O le point dans lequel coïncident les deux points doubles des deux 

 courbes; OM, Om les deux tangentes à la première courbe en ce point, 

 et OM', Oin' les deux tangentes à la seconde. Qu'on mène deux autres 

 droites quelconques formant involution avec ces deux couples ; les cordes 

 qu'elles intercepteront dans les deux courbes rencontreront, respective- 

 ment, les deux courbes en deux points fixes, et se croiseront en un point 

 variable dont le lieu sera la conique demandée. Cela résulte de ce que 

 ces deux cordes, qui passent par deux points fixes, se correspondent anhar- 

 moniquement. [Comptes rendus, tome XLI, page 1 101.) 



» Observation. — Le point double de chaque courbe peut être un point 

 de rebroussement ; la construction reste la même. Car si les deux tangentes 

 OM', Om' coïncident, comme cela a. lieu si la seconde courbe a un point 

 de rebroussement, elles forment un rayon double de l'iuvolution, qui n'en 

 est pas moins déterminée. Et de même, si la première courbe a aussi un 

 point de rebroussement. 



» XIV. Connaissant un des cinq points d'intersection de deux courbes 

 du troisième ordre qui ont chacune un point double ou de rebroussement en 

 un même point, construire les quatre autres points d'intersection des deux 

 courbes. 



» SoientP le point d'intersecfion des deux courbes qui est connu, et O le 

 point où coïncident leurs deux points doubles. Qu'on mène par le point P 

 une transversale qui rencontre les deux courbes eu deux couples de points 

 M, m et N, n; et qu'on mène par le point O les deux couples de droites 

 OM, Om et ON, On. Pour une seconde transversale on aura deux autres 

 couples de droites OM', Om' et ON', On'. Et de même pour chaque autre 

 transversale. Les couples OM, Om; OM', Om'; etc., forment une invo- 

 lution [Comptes rendus, t. XLI, p. iioi); et de même les couples ON, 

 On; ON', O n'; etc. En outre, chaque couple OM, Om de la première in- 

 volution correspond anharmoniquement à chaque couple ON, On de la 

 seconde, parce que l'un et l'autre correspondent anharmoniquement à 

 une même transversale. 11 s'ensuit qu'on peut déterminer par la mé- 

 thode qui sert à construire les racines d'une équation du quatrième de- 

 gré [Comptes rendus, ibid. p. 68a), les quatre rayons dont chacun est 

 commun à deux couples correspondants, lesquels passent par les quatre 

 points d'intersection des deux courbes et rencontrent en ces points mêmes 

 les transversales correspondantes aux couples qui out ces rayons en com- 

 mun. Ainsi le problème est résolu. 



