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 ou la variable indépendante z elle-même, ou la fonction circulaire tang — i 



ou la fonction elliptique sinam(gz) ou X(z). 



» Lorsque l'intégrale est monodrome, c'est-à-dire n'a qu'une valeur 

 pour chaque valeur de la variable, elle est, ou une fraction rationnelle, 

 ou une fonction monodrome simplement périodique, ou une fonction 

 monodrome doublement périodique. Dans le premier cas, l'intégrale 

 est le quotient de deux polynômes entiers en z, l'un du degré m, l'autre 

 du même degré au plus. Dans le second cas, l'intégrale s'exprime par 



une fraction rationnelle en tang — Dans le troisième cas, par une fraction 



rationnelle entre la fonction elliptique X(z) et sa dérivée X' (z), ainsi qu'il ré- 

 sulte d'un beau théorème de M. Liouville. 



» Nous nous occupons spécialement, dans ce premier Mémoire , des 

 équations différentielles qui admettent des intégrales monodromes. Nous 

 donnons d'abord les caractères très-simples par lesquels on reconnaît, à 

 l'inspection de l'équation différentielle, si l'intégrale est monodrome; et en- 

 suite nous disons comment on distingue à quelle catégorie elle appartient. 



» Cette étude directe de l'équation différentielle a une grande impor- 

 tance; elle nous donne d'abord les propriétés fondamentales de la fonction 

 intégrale; elle en détermine la nature; elle nous permet, en outre, d'effec- 

 tuer l'intégration, telle qu'on l'entend habituellement, c'est-à-dire d'expri- 

 mer la fonction intégrale au moyen des signes convenus, lorsque cela est 

 possible. Nous trouvons la forme de l'expression, et nous en calculons en- 

 suite les coefficients. Ces coefficients sont de deux sortes : ceux qui entrent 

 dans la composition de l'expression et ceux qui servent à définir la fonction 



circulaire tang — ou la fonction elliptique X (z). Nous obtenons les pre- 

 miers au moyen d'équations du premier degré. Lorsque l'intégrale est sim- 

 plement périodique, la constante w, qui entre dans la fonction circulaire, 

 est fournie immédiatement par l'équation différentielle. Lorsque l'intégrale 

 est doublement périodique, les deux constantes, qui définissent la fonction 

 elliptique, sont données par des équations algébriques d'un degré plus ou 

 moins élevé. 



» Dans un précédent Mémoire, nous avons étudié les équations différen- 

 tielles binômes de la forme 



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qui rentrent, comme cas particuliers, dans les équations différentielles dont 



