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 Cela posé, l'équation du plan mobile sera 



(3) x cosa +^cosê + zcos 7 = u, 



où l'on doit considérer a, S, 7 et u comme des fonctions d'un paramètre 

 variable t; et, pour obtenir les trajectoires orthogonales, il faudra intégrer 

 les équations 



(4) dx = ds cos a, dj = ds cos ê, dz = ds cos 7. 

 » A cet effet, nous poserons 



(5) xcosl -h j~cos 11 -h zcosv = \J ; 



en différentiant deux fois cette équation ( 5 ), et ayant égard aux équations ( 1) 

 et (4), il vient 



(6) x cos£ +/cos u -+- zcos Ç = -r, 



r d—~\ 



(7) a: cos a-t- y cos ê -t- zcos 7 = — — 



La comparaison des équations (3) et (7) donne 



d dV 



(8) _£L + L T=:- M £, 



a» an 



Sans fixer la quantité que nous choisissons pour le paramètre t, nous pou- 

 vons prendre y? pour variable indépendante, et poser 



(9) «£= ? (*>) + ?" V. 



y" désignant la deuxième dérivée de la fonction y ; alors l'intégrale de l'équa- 

 tion ( 8) est 



(10) • U = Asinrj + Bcosvj — <p {ri), 



A et B étant deux constantes arbitraires. 

 » Il résulte de là que, si l'on pose 



(11) V = x cos X -t- y cos p.-h z cos v -4- ç> (»j ) — A sin y; — B cos 5, 



les équations (5), (6) et # (7) qui appartiennent à la trajectoire du plan mo- 



