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Indem man diese letzte Formel mit den Bedingungs- 
gleichungen (3) vergleicht, so kommt man auf den folgenden 
Reciprocitätssatz: 
Wenn während einer Bewegung die Wirbel- 
linien in Wirbellinien übergehen, so wird die Ge- 
schwindigkeit der Intensität eines jeden Wir- 
bels durch die Formel: 
D(J)—= Sf w(Édydz + ndzdx + {dxdy) (6) 
bestimmt und umgekehrt, wenn die Geschwin- 
digkeit der Intensität eines jeden Wirbels durch 
diese Formel bestimmt ist, so gehen während der 
Bewegung die Wirbellinien in Wirbellinien über. 
Wenn in dem Integrale J die Integration auf ein un- 
endlich kleines Flächenelement erstreckt wird, so bekommt man 
die Intensität eines elementaren Wirbels. Bezeichnet man die- 
selbe mit ’, so folgt aus (6) die einfache Beziehung: 
D(i) = wi. 
Wenn w—o, aber auch nur in diesem Falle, hat man 
eine Bewegung, während welcher sowohl die Wirbellinien in 
Wirbellinien übergehen, wie auch die Intensität eines jeden 
Wirbels unverändert bleibt. Zu dieser Kathegorie der Bewe- 
gungen gehören diejenigen, für welche H. v. Helmholtz seine 
Sätze 1) und 2) aufgestellt hat. 
Wir wollen nun allgemeiner fragen, welchen Bedingun- 
gen eine Bewegung (1) genügen muss, damit die Geschwin- 
digkeit der Veränderung des Integrals: 
‚D=fSwledydz + ndzdx + (dxdy), 
wo u. eine Function von x, y, 2, t bezeichnet, bei beliebiger 
Wahl der Fläche, auf welche das Integral auszubreiten ist, 
durch die Formel: 
D(Q) = Sfo(edydz + ndedx + (dedy) 
gegeben wäre, wo o wiederum eine Function von x, y, 2, t 
bezeiehnet. 
