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von M') ein diese Relationen erfüllendes Element von P bestimmt 
werden kann, besitzt die Ordinalzahl 9 
In der Theorie der wohlgeordneten Mengen müssen allererst die 
beiden Haupteigenschaften, dass je zwei wohlgeordnete Mengen ver- 
gleichbar sind, und dass jede Teilmenge einer wohlgeordneten Menge 
ein erstes Element besitzt, welche die wichtigsten Beweismittel der 
klassischen Theorie bilden, preisgegeben werden; demzufolge hat 
die hier aufzubauende neue konstruktive Theorie mit ihrer Vorgän- 
gerin fast gar keine Aehnlichkeit mehr, weder äusserlich noch 
innerlich. An die Stelle der letzteren Haupteigenschaft bringt sie 
folgendes Theorem: 
Ein Gesetz, welches in einer wohlgeordneten Spezies ein Element 
bestimmt und jedem schon bestimmten Elemente entweder die Hemmung 
des Prozesses oder ein ihm vorangehendes Element zuordnet, bestimmt 
sicher ein Element, dem es die Hemmung des Prozesses zuordnet. 
Der Theorie der ebenen Punktmengen wird die Menge Q derjeni- 
gen Quadrate zugrunde gelegt, von denen ein Eekpunt in bezug auf 
ein rechtwinkliges Koordinatensystem die Koordinaten «. 2” und 
b.2-" und die (den Acbsen parallelen) Seiten die Lange 2—" oder 
21—” besitzen. Sodann wird unter einem Punkte der Ebene eine un- 
begrenzt fortgesetzte Folge von Quadraten von Q, deren jedes im 
Innengebiete des nächstvorangehenden enthalten ist, verstanden. 
Auf dieser Grundlage kommen aus der klassischen Theorie der 
Punktmengen zahlreiche Theoreme in Fortfall. 
Vom Canrrorschen Haupttheorem bleibt z.B. nur folgende negative 
Teilaussage in Kraft: 
Es kann keine abgeschlossene geordnete Punktmenge existieren, deren 
Müächtigkeit grösser als die abzählbar unendliche ist und von der jeder 
Punkt einerseits einen nächstfolgenden Punkt aufweist, andrerseits von 
abzählbarer Ordnung ist bzw. von der Spezies der auf ihn folgenden 
Punkte einen endlichen Abstand besitzt. 
Auch diese Teilaussage muss indes nach einer von der üblichen, 
auf dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten beruhenden, völlig ver- 
schiedenen Methode bewiesen werden, z.B. so: 
Eine Punktmenge a, deren Mächtigkeit grösser als die abzdhlbar 
unendliche ist, lässt sich nur so ordnen, dass endliche Mengen 
tid, von endlichen Wahlfolgen, welche nicht Abschnitte von- 
einander sind, der Reihe nach geordnet werden, und zwar in solcher 
1) d. h. zu jeder der Ordnungseigenschaft entsprechenden unbegrenzten Folge von 
Relationen „nach’’ oder „nicht nach” zu den einer Abzählung durch eine Fundamen- 
talreihe unterzogenen Elementen von M. 
