Mathematics. — ‘“Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruch- 
entwickelung?’*) By Prof. L. E. J. Brouwer. 
(Communicated at the meeting of December 18, 1920). 
ee i 
Existenzbereich der unendlichen Dezimalbruchentwickelung 
auf dem Kontinuum. 
Versteben wir in der Menge der endlichen Dualbriiche 20 und <1 
a+ 2 
2 
Endelemente besitzendes geschlossenes Intervall, unter einem Punkte 
des Kontinuums eine in unbegrenzter Fortsetzung begriffene Folge 
von Intervallen 2, deren jedes im Innern des nächstvorangehenden 
enthalten ist*), unter a2 einen variablen Punkt des Kontinuums, 
unter F,(v) einen n-stelligen Dezimalbruch mit der Eigenschaft, 
dass jeder links von ihm liegende Punkt des Kontinuums links von 
einem Intervalle von w liegt, während F(a) +10 " rechts von 
einem Intervalle von z liegt, unter F'(wv) die eindeutige unendliche 
Dezimalbruchentwickelung von z, so besitzt #,(x) die (übrigens 
allen unstetigen Funktionen gemeinsame) Eigenschaft, dass ihr Exi- 
stenzbereich G, nicht mit dem Kontinuum zusammenfallen *) kann. 
Der Existenzbereich G=D(G,,G,,...) von F(x) kann also erst 
recht nicht mit dem Kontinuum zusammentallen, obgleich er sich 
(ebenso wie der Existenzbereich der regelmässigen Kettenbruchent- 
wickelung von 2) dem Kontinuum so eng anschmiegt, dass er mit 
als 
. hd had .. a 
unter einem Intervalle 2, ein zwei Dualbrüche 7 und 
1) Ueber den Inhalt dieser Abhandlung wurde am 22. September 1920 auf der 
Naturforscherversammlung in Bad Nauheim ein referierender Vortrag gehalten. 
2) Vgl. meine in Bd. XII der Verhandelingen der Koninklijke Akademie van 
Wetenschappen te Amsterdam (Eerste Sectie) erschienene Abhandlung: ,, Begriindung 
der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten’’, 
2. Teil, S. 3, 4. Wie daselbst S. 4 Fussnote +) hervorgehoben und durch die 
vorliegende Arbeit klar ins Licht gestellt wird, sind die beiden S. 9 des 1. Teiles 
benutzten Begriffe der ,reellen Zahl” bedeutend enger als der hier definierte Begriff 
des Punktes des Kontinuums. In einem ganz andern, aus dem Zusammenhang 
ersichtlichen Sinne wird der Ausdruck ,reelle Zahl” der Expressivität wegen in 
der Ueberschrift und im Schlussparagraphen der vorliegenden Arbeit gebraucht. 
3) a. a. OF 2. Teil, S. 5. 
