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Die Ergänzungselemente erster Ordnung von H entsprechen den 
Dedekindschen Schnitten von H. 
Das Ergänzungselement erster Ordnung r von H heisst ein 
Erginzungselement zweiter Ordnung von H, wenn fiir jedes Element 
g von H die Relation g <r entweder hergeleitet, oder ad absurdum 
geführt werden kann, oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn 7’ 
sich so wählen lässt, dass kein u mit der Eigenschaft, dass die 
rechten Endelemente von ¢', und r', für jedes » > w identisch sind, 
existieren kann. 
Das Ergänzungselement zweiter Ordnung r von H heisst ein 
Ergänzungselement dritter Ordnung von H, wenn für jedes Element 
g von H entweder die Relation g >>r (d. h. man kann ein links 
von g gelegenes r, von 7 bestimmen), oder die Relation g <r 
hergeleitet werden kann, oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn 
r’ sich so wählen lässt, dass zu jedem Ff’, ein solches fr’, bestimmt 
werden kann, dessen rechtes Endelement links vom rechten End- 
elemente von fF’, gelegen ist. 
Ein Ergänzungselement dritter Ordnung von H heisst ein Ergänzungs- 
element vierter Ordnung von H, wenn für jedes Element g von H 
entweder die Relation g > 7, oder die Relation g=~r (d. h. g und 
r fallen in H zusammen), oder schliesslich g <r (d. h. man kann 
ein rechts von g gelegenes Ff, von 7 bestimmen) hergeleitet werden 
kann, oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn 7’ sich so wählen 
lässt, dass zu jedem Fr’, ein solches v >> u bestimmt werden kann, 
dass die beiden Endelemente von fF’, von den beiden Endelementen 
von Ff’, verschieden sind. 
Die vorstehenden Definitionen der Ausfüllungselemente sowie der 
Ergänzungselemente nullter, erster, zweiter, dritter und vierter Ord- 
nung von H sind für gegebene ordnende Relationen in H offenbar 
unabhängig vom Abzählungsgesetze y. 
Sei M eine endliche Menge oder eine Fundamentalreihe von 
Ergänzungselementen vierter Ordnung von H,, deren je zwei in H, 
drtlich verschieden sind und deren jedes von jedem Elemente von H, in 
H, ortlich verschieden ist. Die Vereinigung von M und H, bildet eine 
abzählbar unendliche, im engern Sinne iiberall dicht geordnete Menge 
H,+1. Jedes Ergänzungselement von H, ist gleichzeitig Erganzungs- 
element von H,4; und jedes Ergänzungselement A-ter Ordnung von 
H+, fällt in H‚41 zusammen mit einem Ergänzungselemente /-ter 
Ordnung von A, 
Die vorstehende Beziehung besteht sowohl zwischen der geordneten 
Menge der endlichen Dualbrüche AH, und der geordneten Menge der 
