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§ 4. 
Existenz der Dezimalbruchentwickelung reeller 
algebraischer Zahlen. 
Seien 7, und +, beliebige reelle algebraische Zahlen, d. h. je 
einer algebraischen Gleichung mit ganzen rationalen Koeffizienten 
genügende Ausfiillungselemente der von den rationalen Zahlen 
gebildeten geordneten Menge H,. Alsdann kann man eine algebra- 
ische Gleichung F («) =a, e+ a,ar-14+....4+a,444+a,=0 
mit ganzen rationalen Koeffizienten und nicht verschwindender 
Diskriminante D bestimmen, der sowohl 7, wie r, genügt. Seien 
Wy, Wo, Wa die (mit jedem beliebigen Grade der Genauigkeit 
approximierbaren) Wurzeln von F'(r)==0, so können w, und w, 
für rs nicht in H, zusammenfallen. Sei g eine rationale Zabl, 
welche die Moduln aller Wurzeln von F (7) = O übersteigt, und 6 =2o9, 
so ist 
| wp - w,| <b (r Fs). 
Weil aber 
iT i a 
(w, —— wy) =a ane ’ 
MAD ° 
go ist andrerseits 
| 2 > 2 
| wy, — We | ————— 
! An? Sn 
a, n bn n—2 
so dass wir mittels hinreichend genauer Approximierung von r, 
und r, entweder Sicherheit erlangen, dass r, und 7, mit derselben 
Wurzel w, zusammenfallen, oder ein r, und r, trennendes rationales 
Intervall bestimmen können. Indem wir dieses Resultat zunächst 
spezialisieren für den Fall, dass r, eine rationale Zahl ist, ersehen 
wir miihelos, dass 7, in H, entweder mit einem Elemente von A, 
zusammenfallt oder von jedem Elemente von H, örtlich verschieden 
ist, so dass 7, sich als Ergänzungselement vierter Ordnung von H, 
erweist, mithin sowohl in einen eindeutigen unendlichen Dezimalbruch, 
wie in einen eindeutigen regelmdssigen Kettenbruch entwickelt werden kann. 
Setzen wir nun weiter voraus, dass weder r, noch r, mit einem 
Elemente von H, zusammenfällt, so fallen sie entweder in H, zu- 
sammen, oder sind in H, örtlich verschieden. 
Hieraus folgern wir, dass die Spezies der reellen algebraischen 
Zahlen eine abzählbar unendliche, im engern Sinne überall diclit 
geordnete Menge H, bildet, welche zu H, die am Schluss von $ 2 
erklärte Beziehung eines H.4; zu einem entsprechenden H, besitzt. 
