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§ 5. 
Existenz der Dezimalbruchentwickelung von =x. 
Seien a und 5 ganze positive Zahlen und a< 6. Wir verstehen 
unter AK, den unbedingt konvergenten *) unendlichen Kettenbruch 
een), 
und unter K, den unbedingt konvergenten unendlichen Kettenbruch 
a? a? oo 
(am 4 1)B (2 4 Db In 
Alsdann gelten die Beziehungen 
-=K 4 
ee aaa yc 
a’ 
Kn = > an | 
é (2m = 1) 5 —_ Kn we ik ) 
Seien 2,,2,,2,,-.. reelle Variablen, welche durch die Beziehungen 
a 
Pe ST 
b—«, | 
RET 
a 
ON — TA AE ENE ee (m 2 ish 
(2m + 1) b — ami 
verbunden sind, und 2’, eine rationale Zahl zwischen O und 1, also 
<4b. Mittels (+) leiten wir aus 2’, weitere rationale Zahlen 
Pe B Od <2" 44, fe her... Von ‘diesen 
fallen Ei Las. tr alle positiv aus, während 2',_1, 
eten, 
oma dr alle < 46: und a’ < Ti wird. Weiter kann man ein 
kleinstes r>>a bestimmen mit der Eigenschaft, dass x,’ < 0 oder > 1 
wird *). 
Sei a eine (für das weitere hinreichend klein gewählte) positive 
rationale Zahl und ya ein solches geschlossenes rationales Wert- 
intervall von w,, dass sowohl 1, wie die auf Grund von (tf) ent- 
sprechenden Wertintervalle 1041, Nate,--- Mr VON Tais Late,-.+ Lr 
rechts vom Werte O und links vom Werte 1 liegen, während, wenn 
wir noch die auf Grund von (f) entsprechenden Wertintervalle von 
ey ino B emt Haers Neder Ne bezeichnen, jedes K, fir 
O<v<r in »y enthalten ist und eine Entfernung > 2a von den 
Endwerten von %, besitzt. Alsdann können wir eine solche ganze 
nichtnegative Zahl s< r bestimmen, dass 2’,, 2’,,...2's_1 der Reihe 
nach in 1), %,,...%s 4 enthalten sind, während a’, eine Entfernung 
>a von K, besitzt. 
1) Vgl. PRINGSHEM, Miinchener Berichte 28 (1898), S. 299 fgg. 
aa. 8-0, B38. 
