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Sei 3' eine solche positive rationale Zahl, dass für fos zu %, ge- 
horige x, die Ungleichung 
hdi 
gilt, so besitzt w’, eine Entfernung > af' von K,. 
Sei x," eine solche rationale Zahl, dass die auf Grund von (4) 
entsprechende Zahl x, <0 oder 21 ausfällt. Alsdann können wir 
eine solche ganze nichtnegative Zahl ¢< a bestimmen, dass w",,... v”;_4 
der Reihe nach in %,...% 1 enthalten sind, während z,’ eine 
Entfernung >a von K, besitzt. 
Sei B’ eine solche positive rationale Zahl, dass für jedes zu 4, 
gehorige «, die wale oar ical eee 
” 
ae 
gilt, so besitzt a," eine Entfernung SS up von K,. 
Zu einer beliebigen positiven rationalen Zahl 2, << 1 und einer 
beliebigen positiven rationalen Zahl 7 kann man mithin eine solche 
positive rationale Zahl 7, < 1 bestimmen, dass 
|i— agi, | >i, 
Insbesondere kann man zu einer beliebigen positiven rationalen 
Zahl i,<1 eine solche positive rationale Zahl 7,< 1 bestimmen, dass 
tg t, | = tay 
mithin auch (weil im zwischen den Werten O und 2 enthaltenen 
Wertegebiet von y die Ungleichung 
' 
d arctg y eS | 
dy ie 9 
besteht) 
ud 
— =—4, 
so dass die Zahl x sich als nnen, vierter Ordnung von 
H, erweist'), mithin sich sowohl in einen eindeutigen unendlichen 
Dezimalbruch wie in einen eindeutigen regelmässigen Kettenbruch 
entwickeln léisst. 
Die Entwickelungen dieses und des vorangehenden Paragraphen 
bieten Beispiele der Charakterisierung von Ergänzungselementen 
bzw. Ausfüllungselementen 7 von H als Ergänzungselemente vierter 
1) Die gleiche Eigenschaft der Zahl e ist eine unmittelbare Folge der regelmäs- 
sigen Kettenbruchentwickelung 
En te 1 le = 
mo jee (ere ay | 
