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wo jedes a, entweder gleich O oder gleich 9 ist, während a, = 9 
und ap: dann und nur dann von a, verschieden ist, wenn n sich 
im zweiten Falle befindet. 
Dieses Ergänzungselement erster Ordnung würde erst dann ein 
Ergänzungselement zweiter Ordnung von H, darstellen, m. a. W. 
die im $ 3 definierte eindeutige unendliche Dezimalbruchentwickelung 
zulassen, wenn man eine Methode besässe, für jedes ganze positive 
n mit der Eigenschaft, dass entweder keine oder eine gerade Anzahl 
von ganzen positiven Zahlen <7 sich im zweiten Falle befindet, 
entweder die Existenz oder die Abwesenheit eines im zweiten Falle 
befindliehen m >> n ad absurdum zu führen. 
Ein Ergänzungselement dritter Ordnung von H, würde dasselbe 
Ergänzungselement erst dann darstellen, wenn man eine Methode 
besässe, für jedes ganze positive n mit der Eigenschaft, dass entweder 
keine oder eine gerade Anzahl von ganzen positiven Zahlen < x 
sich im zweiten Falle befindet, entweder die Existenz eines im zweiten 
Falle befindlichen m >n ad absurdum zu führen, oder ein im 
zweiten Falle befindliches m >> n anzugeben. 
Wir definieren schliesslich ein Erganzungselement dritter Ordnung 
r von H, mittels der unendlichen Reihe 
a2 
a) —n—1l1 
Di ead UD) ; 
n=1 
wo a,„=9, wenn vn sich im zweiten Falle befindet, sonst a, — 0. 
Dieses Ergänzungselement dritter Ordnung würde erst dann ein 
Ergänzungselement vierter Ordnung von H, darstellen, wenn man 
eine Methode besässe, fiir jedes ganze positive 7, entweder die Existenz 
eines im zweiten Falle befindlichen m >>n ad absurdum zu führen, 
oder ein im zweiten Falle befindliches m >> n anzugeben. 
Sämtliche Beispiele dieses $ fallen übrigens in H, zusammen mit 
Ergänzungselementen vierter Ordnung der geordneten Menge der 
endlichen Dualbrüche H,. . 
Für Beispiele reeller Zahlen ohne Dezimalbruchentwickelung be- 
steht bei der Weiterentwickelung der Mathematik stets die Möglich- 
keit, dass sie einmal hinfällig werden; dann aber können sie immer 
durch solehe, welche ihre Gültigkeit behalten haben, ersetzt werden. 
ERRATUM. 
Proceedings, Vol. XX (2), p. 1156, 1. 13 from the bottom: read 
in the formula: ,,— 0.00003219 7°*” for ,,— 0.00005102 7'*”. 
