Mathematical Analyse. — '\W une propriéte des ftmctions de 

 variable complexe''. Note de M. Arnaud Denjoy. (Présenté par 

 Mrs. W. Kapteyn et L. E. J. Brouwerj. 



(Présente dans la seance de Décembre 29, 1917). 



Je me propose de démontrer Ie tliéorème siiivant: 



Si une fonction anaijtiqiie F{x) et sa dérivée F\x) soiit régulieres 



et non nulles en tont point d'nn contour simple C, a l'inlérieur du- 



quel i^(.i') peut se mettre sous la forme : 



F{x) = {x-a,Yi .... {w-a,,fn Q (w), (1) 



les aj étant intérieurs k C, G étant reguliere et non nulle dans C, et 

 les aj, aj étant indépendants de r, si l' argument de F (jj) varie dans 

 un sens constant quand x décrit Ie contour C, 1°. i^'(.i') possede 

 a V intérieur de C, {ii — 1) zeros disiincts ou confondus différents 

 des aj 2°. toute courbe d'équation Arg F{x) = cte penetrant dans C, 

 aboutit en Vun des points aj ou passé en Vun des zeros propres d F'. 



En effet, soit r{x) une determination de log G{x). r{x) est par 

 hypothese holomorphe dans C et sur C. 



On a: 



F (x) X — ttj X — a„ {x — aj) . . . [x — a„) ' 



D'après son expression, V est holomorphe dans et sur C, et V 

 ne s'annule en aucun point aj. En outre, par hj^pothèse, V ne 

 s'annule pas non plus sur C. A l'intérieur de C, les zeros de F'{x) 

 distincts des aj coincident done avec les zeros de V. Nous voulons 

 montrer que F possède a l'intérieur de C, {n — 1) zeros distincts ou 

 confondus. Or, 



-^-^= logF{x). 



F{x) dx 



F et F' étant réguliers et différents de zéro sur C, Ie second 

 raembre est, en tout point de 6', une fonction continue de x, de 

 méme que les logarithmes et a fortiori les arguments de i'^ et de i^'. 



Supposons que C ait, en chacun de ses points, une tangente bilaterale 

 unique, variant continüment. Soit « l'angle avec (Aï de eet te tangente 

 dirigée dans Ie sens positif de parcours de C. Soit s l'arc de C 

 compris entre une origine ciioisie sur C, et Ie point variable .r. On a : 



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Proceedings Royal Acad. Anasterdam. Vol. XX. 



