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. F' (x) dlog\F\ ,dArgF 



e' " — ■ = -(- i . 



F (.r) ds ds 



ia F' 

 Done, Ia partie imaginaire de e — garde un signe constant dans 



r 



ia F 

 Ie mouvement de x sur C. Done la variation totale de Arg. e — 



^ F 



est nulle. Or, C étant un contour simple, pareouru dans Ie sens 



' V 



direct, « augmente de 2jr. Done, Arg. diminue de 



(x — a^). . . {x — a„) 



2:t. Les üj étant intérieurs k C, Arg. F augmente done de 2(72 — l)jr. 



Done, V'd{n — 1) zeros distinets ou eonfondus a l'intérieur de C. 



Supposons maintenant que C ne possède pas en cliaque point une 

 tangente déterminée. Soit 2rfj la plus courte distance a 6' des points 

 S qui sont, soit des zeros, soit des singularités de F ou de F', é^ 

 est poöitif puisque aucun de ces points n'est sur 6'. Soit 2rf, la 

 distance minimum de deux points de C entre lesquels la variation 

 de Arg. F[.v) est egale en valeur absolue a un multiple entier de 

 2yt. Soit (f Ie plus petit des deux nombres dj et rf,. En un point 

 quelconque a;^ de 6', menons l'arc de courbe i/{d\) d'équation : 



Arg. F (x) = Arg. F{x^), 

 limité de part et d'autre de .r, k la longueur ö. Puisque F est 

 régulier et non nul sur 6', pour chaque point de C, l'arc g{.i\) est 

 determine. Comme F' ne s'annule pas sur ee même are, eelui-ci ne 

 possède que des points simples. 



Deux arcs ^(.rj, g{--v,) sont entièrement distinets. En effet, les deux 



arcs .(/(.i'i), g{.i\) correspondent a des arguments de F^ différents, 



puisque Arg. F varie dans un sens constant sur C. Cela étant, ou 



1 F{x^) 

 bien — Arg. := ^ — O n'est pas un nombre entier, et alors, 



les deux arcs ne pourraient se rencontrer qu'en un point oü F^ est 

 irregulier ou nul, circonstance impossible, puisque, leur demi-Iongueur 

 étant (f<d'i, aucun ne contient de points de eette sorte. Ou bien 

 ^, — ^1 est un entier non nul, et les deux arcs ff{a.\) et g[x,) n'ont 

 pas de points communs, d'après d<d,. Si e^, e, sont les extrémités 

 de g{Xi) respectivement intérieure et extérieure a C, e^ et e^ décrivent 

 chaeun une courbe sans point multiple, l'une Tj intérieure a C, 

 l'autre F, con tenant C k son intérieur. Entre Tj et r,, on peut 

 déformer indifféremment C sans rencontrer de point S- 



Or la condition que Arg. F{.v) varie dans un sens constant équivaut 

 a celle-ci, que C coupe une fois et une seule chaeun des arcs gix^). 

 Done, si Ie contour C présente des irrégularités, il est possible de 



