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substifiier k chaque point .^j de C iin point ,v\ de I'arc correspon- 

 dant (/(^,) de facon que la coiirbe C' des points .''i, qui coupe nne 

 fois et une seule chaque are (/(.^^i), soit continue et admette en tout 

 point nne tangente unique variant continument. C' contient a son 

 intérieur les mèmes points $ que C. Gr, la première partie du 

 théorème est vraie pour C'. Done elle l'est aussi pour C. Elle est 

 done générale. 



Conservant tontes les autres hypotheses de l'énoneé, supposons 

 siniplement que Arg F{.v) ne pof^sede pas sur C les deux sens de 

 variation. Sur certains arcs to de C, Arg F{.v:) pourra être constant. 

 Sur un tel are tu, log \F\ est continu et varie dans un sens con- 

 stant, puisque ni F ni F' ne s'annulent snr w. Quand ^t' décrit to, Ie 



ia F' , , 



point figuratif ÓlQ u =z e — parcourt sur 1 axe reel un segment 



r 



dont les deux extrémités sont d'un même cóté de l'origine. Si la 

 tangente a C varie continument, comme Ie point a n'a pas de 

 positions de part et d'autre de l'axe reel, la variation de Arg z« sur 

 Ie contour décrit par .^• est encore nuUe. La première partie du 

 théorème subsiste. 



Si, en dehors ou aux extrémités des arcs to, C était, en certains 

 points, dépourvu de tangente, on introdnirait les arcs g{x^) relatit's 

 a tous les points de C, sauf aux points intérieurs aux arcs to. 

 L'ensemble des gix^) formerait des i-égions auxquelles toutes les 

 parties de C étrangères aux arcs to seraient intérieu?-es, et oü l'on 

 pourrait déformer C saus lui faire traverser de zeros ni de singu- 

 larités de F ni de F', de facon a lui donner une tangente continue 

 en conservant les conditions du théorème. Celui-ci, vrai pour Ie 

 nouveau contour, l'est aussi ponr C. 



La première partie du théorème et cette dernière extension étant 

 établies en toute généralité, démontrons la seconde pai-tie. 



Si une eourbe g d'équation Arg F{x) = cte avait dans C un 

 certain point y, et si, prolongée dans les deux sens a partie de y, 

 elle ne reneontrait pas de point $, elle aboutirait des deux parts a 

 C, en des points respectifs « et /?. Les deux arcs de C séparés par 

 a et |i, angmentés de Tare de g intérieur a C, formeraient deux 

 contours simples ne contenant pas de point 5 et sur aucun desquels 

 Arg F ne posséderait les deux sens de vaiiation. Alors F possédant 

 q points aj a Tintérieur de l'nn de ces contours, et (n — ^) a l'intérieur 

 de l'autre, F' aurait a l'intérieur de ces mêmes contours respective- 

 ment {q — 1) et {n — q — 1) zeros (comptés chacun avec sou ordre de 

 multiplicité), done en tont {n — 2) zeros et non pas {n — 1). Le théo- 

 rème est done entièrement démontré. 



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