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La première partie appelle diverses observations. 



D'abord, la demonstration reposant simplement sur ceci 



F' 

 que Ie point e^'^ — ne tourne pas autour de l'origine, z/^i^/fzVaiV pour 

 F 



l'exaetitude de la premiere partie du théorème, que Ie sens de varia- 

 tion de Arg F sur C fat Ie lïiêriie, simplement chaque fois que Ie 

 modide de F" passé par un maximum ou par un minimum. 



Considérons Ie cas oü Ccontient un zéro régulier et simple de F"' . On 

 suppose toujours F{^) =\= O, de fa9on que l'argument de F ne soit 

 indéterminé en aucun point de 6'. Pour préciser Ie sens de la première 

 partie du théorème, il convient de savoir si § doit ou non être 

 considéré comme intérieur a 6'. Nous examinerons pour cela comment 

 il convient de modifier un are de C contenant '^ et indifférement 

 petit, de fa(;on que ie sens de variation de Arg F sur Ie nouvel 

 are ne soit ni double, ni différent de celui de C. La ligne 

 Arg 7^^= Arg i^($) possède en 'è, un point double a tangentes rectan- 

 gulaires. Les deux branches Vi et y, de cette courbe délimitent quatre 

 angles curvilignes de sommet S. Une ligne Arg i^= Arg i^(§) + « 

 se compose, si « est assez petit, de deux arcs distincts, intérieurs 

 respectivement a deux angles, opposes par Ie sommet, formes par 

 7 J et y, et disposes relativement a y, et a y, comme le sont par 

 rapport a leurs asymptotes les deux branches d'une hyperbole équilatère. 

 Suivant le signe de b, les arcs sont dans I'un ou dans I'autre des 

 deux couples d'angles ainsi places. Numérotons par exemple 1 et 3 

 ceux qui correspondent a 6>0, 2 et 4 les deux autres. Supposons 

 que yi désigne la branche séparant les angles 1 et 2 d'une part, 



3 et 4 d'autre part, y^ sépare d'une part 1 et 4, d'autre part 2 et 3. 

 Arg F croit, quand on traverse soit y^ en passant de 2 a 1 ou de 



4 a 3, soit y, en passant de 4 a 1 ou de 2 a 3. 



C ne peut pas pénêtrer dans- deux angles opposes. C traverse une 

 des deux branches y^ et y,, et une seule. Si done C ne contient 

 pas un arc de I'autre branche, il est entièrement situé (sauf en %) 

 d'un même cóté de cette dernière. On peut, aux abords de §, déplacer 

 C de ce même cóté sans changer le sens de variation de Arg F. 

 i doit done être considéré comme situé du même cóté de C que la 

 branche y^ ou y, non traversée. 



Si C n'est pas tangent a la branche non traversée, il ne peut pas 

 présenter une tangente unique en §. Done, si C possède un point 

 anguleux en 5, ^ doit ctre regarde comme situé du cóté de C oppose 

 a Vintérieur de Vangle (ouvert de moins de Jt) formé par les deux 

 arcs de C séparés par §. 



Si C, traversant y^, contient un are y\ cqmpris dans y,, C quitte 



