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Si ces deux angles ne sont pas adjacents, q couples d'angles 6 

 soiit du cóté intérieur de 6', /> — q du cóté op|)Osé. F' doit étre 

 considére dans l'application du théorème comme possédant q zeros 

 intérieurs ii C et confondns avec -;. On Ie niontre en adjoignant a 6Mes 

 arcs Arg. F =z Arg. F {i) issus de ^ et intérieui-s a C. 



Application. Si une fonction F {■>') a son module constant sur un 

 cimlour simple C oh elle est re[(/ulii')'e et oh sa dérivée F' ne s'annule 

 pas, si de plus F est, a l' intérieur de C, de la forme {\), F' s'annule 

 {n — 1) fois a l' intérieur de C en des points distincts des zeros ou 

 injinis de F'. 



Car Ie sens de variation de Arg. F sur C est constant, sinon, en 



d log \ F\ 



un poinl oü il se modificrait, F' s'annulerait, puisque ■— est 



d X 



toujours luil quand x décrit C. 



Si C passé en un zéro simple .^ de i^', les considerations antérieures 

 permeitent de définir les conventions sous lesquelles Ie théoréme 

 subsiste. La ligne ji'^C'Ol = F {i} possède deux branches jij et /?, 

 se croisant en ^. Arg. F possède en ^ un maximum sur Tune des 

 branches, un minimum sur l'autre. Done, pour que, sur Ie contour 6\ 

 Arg. F{.r) varie en sens constant, il faut qu' a la demi-branche ^^ 

 OU ,f, par oü C arrive en S, succèdent l'une ou l'autre des deux 

 demi-branches ,•?, ou ^, orthogonales a la première. § devra être 

 regarde comme extérieur a Tangle droit dont il est Ie sommet et 

 dout les deux demi-branches considérées forment les cótés. 



On peut aussi arrondir C au voisinage de 5 par une modification 

 intiniment petite, de fac^on que la tangente tourne dans un sens 



TT , 



constant d'environ ± - . S reste en-dehors de la convexite de eet 



2 ^ 



are. [ja variation de Arg. F sur Ie contour C ainsi tracé, possède 

 an sens constant. C est un contour simple, auquel Ie théoréme 

 fondamental s'applique. 



Si 5 est un zéro multiple d'ordre p de F', les deux arcs de C 



ff ^ T f 



aboutissant en ,$ font un angle geometrique K , K etant entier 



jt? + 1 



et au plus égal a p-}-l. Pour que Arg. F varie en sens constant 



sur 



• C, il fant que K soit impair. Si /v = 2/v'+l, {k'<^-\, 



Ie théoréme est vrai, a la condition de considérer F' comme possédant 

 en §, K' zeros intérieurs a Tangle curviligne formé par les deux 

 arcs de C se réunissant en £. On s'en assurera encore en ajoutant 

 a C toutes les branches de la courbe \F\^^ |^($)i issues de $ et 

 intérieures a ce même angle. 



