Chemistry. — “Sur une classe de fonctions admettant une dérivée 
seconde généralisée’. By Prof. Arnaup DenJov. 
(Communicated at the meeting at May 29, 1920). 
Considérons une série trigonometrique partout convergente 
SO) =a,d A, 4,4 ---+ 404+...) ne 
ou A, = an cos nO + b, sin nO; a,, dy, 6, étant indépendants 
de 4. Soit B, = — b„ cos nO + a, sin nd. Intégrons terme a terme 
la série (1), et posons: 
B,, 
POB tt Braden es ae 
en tout point 6 où la série du second membre converge. Aux points 
où cette série diverge, nous dirons que p (6) n'existe pas. C'est 
quelconque, indépendant de 4. Intégrant une fois de plus, nous trouvons: 
An 
POE + 00+ C—4,—... == 
n 
C' étant, comme C, indépendant de 6. 
RieEMANN a montré que la fonction continue #(0)admet 7 (@) pour 
dérivée seconde généralisée, c'est-à-dire que, si 
F(O + u) + F(O—u) — 2 F(A) 
u* 
R (0, u) = 
on a f (0) = lim R (Gu), quel que soit 9 indépendant de w. 
u—0 
Nous nous proposons dans cette note d’étudier les propriétés dif- 
férentielles du premier ordre de la fonetion / (6). Il est bien connu 
que, si # (A) possède au point 0, une dérivée #' (O,), la série (2) 
converge au même point et l’on a g (6,) = FH” (6,). La réciproque 
est exacte. Donec, p (0) et la dérivée de / existent ou non simulta- 
nément, et coincident chaque fois qu'elles existent. 
Posons 
F(O +) — F(0) 
u 
O.(G, 4) = 
On montre que: 
Q|9, (1,0 ae C +- B, . + =) 
tend vers O avee wu, si 2 wu) reste compris entre deux nombres 
