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Soit d un nombre dérivé (extreme ou médian)*) de F' au point 0. 
Il existe alors une suite de nombres de même signe h,, h,,...., hn,.... 
tendant vers O et tels que: tm Q[6,h,|=d. Soit « un nombre 
n @ 
superieur a 1, aussi grand que nous le voudrons, indépendant 
de n. Considérons ensemble £ forme des intervalles 7, et 7, ainsi 
ee ee ; Arles 
détinis: %, est l'intervalle 6 + | à 0 Halh,l; 7, est Vintervalle 
a 
: | Aen | ae : „ek 
6—«a|h,| a 0 — . 6 est évidemment un point limite de ZL. 
a 
Or, quelle que soit la facon dont un point t—= 0 + h tende vers 0 
sans quitter 4, Q[O,h] tend vers d. 
Nous disons alors que /'(6) admet au point 6 une dérivée spéciale 
a H, egale a d. 
La propriété étant exacte quel que soit « invariable, il est possible 
de choisir « croissant indéfiniment avec n, assez lentement pour que 
la propriété subsiste sur l'ensemble Hu ainsi obtenu. Done, 
Si d est un nombre dérivé extréme ou médian de EF (0), d est la 
derivée de F'(@) speciale à un ensemble Ea dont lépaisseur supérieure 
au point 6 est 1 bilateralement *). 
hy, . , . 
Supposons que le rapport — — soit borné indépendamment de n 
Un 41 
Ny 
(mais non de 4). Alors, si 1 < | “+ 
in 
< |, choisissons a >V J, et 
1) On appelle nombre dérivé de F l'une quelconque des valeurs limites d de 
F (0 + u) — F(A) 
u 
demeurant fixe. d est un nombre dérivé droit si uw > 0, gauche si u < 0. d est 
un dérivé extreme, soit supérieur, soit infériewr, si d est Pune des limites extrémes, 
soit la plus grande, soit la plus petite, de Q(6,w) quand w tend vers 0, avec un 
signe déterminé. 
Tout nombre compris entre les dérivés extremes de #’ pour un côté donné, est 
appelé nombre dérivé médian pour le même côté. 
2) Soit m(x) la mesure de la partie d'un ensemble donné / comprise entre un 
point fixe a et un point queleonque x. m (x) a le signe de x -a, à moins d'être 
nul. On appelle épaisseur supérieure droite, épaisseur inférieure droite, epaisseur 
supcrieure gauche, épaisseur inférieure gauche de EF en un point 2%, les nombres 
dérivés de même qualification respective de la fonction m(x) en x). Ges nombres 
dérivés appartiennent au segment (0,1), (c'est à dire à l'ensemble des nombres « 
tels que O<u <1). On dit que EF possède en Xp) une épaisseur (sous-entendu 
bilatérale) ou une épaisseur droite, ou une épaisseur gauche égales à A en 2%, Si 
m(xc) admet en x le nombre A respectivement pour dérivée (ordinaire, bilatérale) 
ou pour derivée droite ou pour dérivée gauche. On sait que les points de H ot ZE 
n'a pas lépaisseur 1 forment un ensemble de mesure nulle LEBESGUE). 
=(Q(6,u) quand w tend vers O avec un signe invariable, 6 
