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w(A) et à w(O +k). Désignons par J/, un autre point de la courbe, 
et soit 6+ k son abscisse. 
Formons sur l’axe des Ó, les images du point 6 + 4, par une 
succession de réflexions alternées sur les points-miroirs (0, 4 + &,). 
Nous obtenons, selon que la premiere reflexion a lieu sur 9 ou sur 
0 + k,, deux suites de points-images: | 
0 —k, OLEL 2k, Ohh, Ok ae 
et 
O—k+2k,, Otk—2k, AO—k+4k, A+k—4kh,,... 
Les points représentatifs de /# pour ces deux suites d’abscisses, 
seront, avec une certaine approximation que notre objet est d’étudier, 
1° dans le premier cas, le symétrique MW’ de M, par rapport a M, 
puis le symétrique M" de M’ par rapport a M,, puis le symétrique 
de M" par rapport a M,, et ainsi de suite, 2° dans le second cas, 
le symétrique M’, de M, par rapport a M,, puis le symétrique JZ", 
de M’, par rapport a M, ete. 
Dans ce qui suit, nous ne restreindrons pas la portée de nos 
conclusions en considérant uniquement les points-images déduits de 
6+ par un nombre pair de reflexions sur le couple (6,4 + 4). 
Ces points-images ont pour abscisses des nombres en progression 
arithmétique de raison 2k,, formant la suite 0 4 4+ 2mk,, m etant 
un entier de signe quelconque. Un tel point-image est obtenu par 
m| réflexions doubles de 4 4% surle couple (0,0 + £,), la première 
réflexion se faisant sur 6 ou sur 0 + k,, selon que m est positif ou 
négatif. Exprimons les ordonnées des points de la courbe TI corres- 
pondant aux points-images: 0 + Jk + 2mk,. 
Nous avons par hypothèse, quel que soit u: 
F(O 4u) + F(@—u) = 2 F(A) + dA? dk 
F(O@—uj + FO4+2k4+y)=2F(O+4h) + oA(lu dk) dd" <1 
D'où: 
F (94 u]—F[0 + 2k, + u]=— 2[F(O+k,) —FO)] + dA [+ (uth) 
Supposons d’abord mm positif. Donnons a wu successivement les 
valeurs k,k + 2h,,...,4 +2(m—1)&,. Il vient: 
F [OH] — F(O42mk, +h = — 2m[F (6 +k) — F(O] + dAu, 
avec 
wk? H(k HA) +... [e+ (2m — 1k]. 
Supposons m négatif et égal a —m’. Dans la relation précédente, 
nous remplacons m par m’ et & par & — 2m’k,. Il vient: 
F (0+k) — F (042mk, +h) = — 2m [F (0 +k) — FCO] + A0, 
avec 
w, = (k—k)? +... + (k + Qmk,)*. 
