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Et + uw) + Flu) — 2F (db) 
ur : 
ou t= O+h, restent bornés pour toute valeur réelle de u et pour 
toute valeur entière de n (positif), sous ces conditions suf fisantes, 
F(O) possède une dérivée au point 9. 
est absolument convergente, si les nombres- 
hy 
Un cas particulier remarquable est celui où la suite Tae est bornee. 
Uut 
hn 
2, et si nous 
ht = < 
supprimons dans la suite les termes oe Ang, la nouvelle suite 
Soit 
<a, a étant indépendant de n. Si 
obtenue h,,’ satisfait a la condition 
< 2a. |h| étant compris 
En 
entre |h»—;| et ||, nous considérons ia Bute tims Vink. arty. Sb, 
conservant son premier terme, nous la réduisons de proche en proche, 
en y supprimant, au fur et a mesure que nous en rencontrons un 
dans la suite parcourue dans son ordre naturel, tout terme superieur 
en valeur absolue a la moitié du dernier terme conserve. 
Dans la suite restante, h, h',,h',...,h'4,... le rapport de chaque 
terme au suivant est inférieur en valeur absolue a 2 @. La série 
AN | 
——— est convergente, d'après: 
| Sere 
13 
ls a ECP 
|J n+1 | 
On a: 
- LOE ed < Za | hl fees Ses de ‘ 4 | 20e || 
IRA 1 ah = Ais SS 500 || = all, 
LA, | 1 Ant: | 2 2” 
Done, dans le cas où le rapport est inferieur en valeur ab- 
In +1 
solue à un nombre a indépendant de n, et où te rapport | R (t,u)) est 
borne par A quels que soient u reel et t=O+h, ou t=Ö, 
F(6) possède une dérivée ~p (A) au point 0, et on a la formule 
Q[O, h]—=p(0) + 20daAh, pour |h| << 2alh, |. (61) . . . (9) 
