Analyse mathématique. — “Sur une propricté de séries trigono- 
metriques.” By Prof. Arnaup Denvoy. 
(Communicated at the meeting of June 26, 1920). 
Dans une Note que j'ai eu l’honneur de présenter a |’ Académie 
dans sa dernière séance, j'ai démontré une propriété dont je vais 
rappeler l’énoncé, et qui appartient a une certaine classe de fonctions 
F(0) admettant une dérivée seconde généralisée f(A). 
Posons 
Q (4, ene seat at A) 
u 
F(O + u) + F(O—u) — 2F (0) 
u’ 
On a Q(O,u) = Q(0 + u, — u) et uR (Ou) = Q (0,4) — ÙUO— u). 
Par hypothèse (4,27) tend vers f(@) quand wu tend vers 0, 9 restant 
invariable (condition A). 
Nous désignons par y(4) le maximum de | A(4,w)| pour toutes les 
valeurs de w,@ gardant une valeur indépendante de w. 4 étant un 
nowbre positif quelconque, w(4,7) désignera le maximum de | A(4,w)| 
pour |u| << 9. 
Les fonctions #'(6) auxquelles s’applique le theoreme démontré 
dans ma précédente note, satisfont non seulement a la condition de 
posséder une dérivée seconde généralisée, mais encore a la suivante: 
La différence Q\9,2u) —Q(4,u) tend vers O avec u, unifor- 
R(A, u) = 
i. 
mément dans tout champ: @ quelconque, |\4| + il < r, r étant indé- 
pendant de @, de u et de 4 (condition B). 
Ces propriétés de (4) sont en particulier vérifiées si f(A) est la 
somme d'une série trigonométrique partout convergente. Si l'on pose 
{Ose EAT A 
avec A, =a, cosn@ + b, sin nd (a,, an, 6, indépendants de 6), on a 
a, A, 
F@=36 + COHC A ee B 
(C, C’ indépendants de 6). 
Et si y(@) désigne, quand elle existe, la dérivée de (8), 
B, 
PAO) = OE A tn 
