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avec 
B, Zi Di COS n@ + An sin n@. 
Les points 6 de convergence de la série et d’existence de la 
dérivée sont les mémes, avec égalité de la dérivée et de la série en 
ces points. Cela posé, nous avons démontré la proposition suivante: 
le | 
hn +4) 
lument convergente, si w(A+h,) et w(A) sont inférieurs ad A 
mdépendant den, la fonction F'(t) possède pour t = 6 une dérivée yO). 
fide 4 
in 44] 
den, et si |h| [22 |h,|, on a 
Q (4, h) =p (A) + 20da Ah (0? iiet eid Kl) 
Enfin, si \h| <1, A peut être remplacé par la borne supérieure 
des nombres W(O, 1), w (0 + h, 1) pour |hy| Zn. 
L’hypothese faite sur y n’implique pas l'existence de la dérivée 
seconde généraliste de /(@). La démonstration exige la condition (B). 
_ De la formule (9) nous déduirons certaines propriétés différenti- 
elles de #'(4) en nous aidant du théoreme de Barre sur les fonctions 
limites de fonetions continues. 
THEOREME. Si P est un ensemble parfait (continu ou discontinu), 
ensemble K des points de P au voisinage desquels w (0), supposé 
find, est non borné sur P, cet ensemble est non dense sur P.*) 
Voici le sens de cet énoncé. Nous disons qu’une fonction g(0) n'est 
pas bornée sur P, au voisinage d'un point 6,, s’il est possible de 
déterminer une suite 9, de points situés sur P, tendant vers 9, quand 
n croit, et tels que |g(9,)| croisse indéfiniment. 6, appartient à P 
puisque P, étant parfait, contient ses points limites. 
Si |h,| tend vers O. en décroissant, si la série est abso: 
St en outre le rapport est inferieur ad a indépendant 
1) Je rappelle qu'un ensemble est dit fermé s'il contient tous ses points limites, 
dense en lui-même s’il admet chacun de ses points pour point limite, parfait 
sil est à la fois fermé et dense en lui-même. 
On appelle portion de P tout ensemble parfait 5 contenu dans P et renfermant 
tous les points de P compris entre les extrémités de 5. 
On dit que ensemble EZ est partout dense sur l'ensemble parfait P, si toute 
portion de P contient des points de £.E est dit dense sur P, s'il est partout 
dense sur une portion au moins de P.£ est dit non dense sur P, si dans toute 
portion de P il en existe une autre où H n'a pas de points. Si (HZ, P) désigne 
l'ensemble commun a Z et à P,E est partout dense, est dense, ou est non dense 
sur P, selon que le dérivé de (EZ, P), — c'est-à-dire l'ensemble des points limites 
de (HZ, P) — ou bien coincide avec P, ou bien contient une portion de P, ou 
bien n’en contient aucune. 
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