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On peut encore dire que, quelque soit MN, dans toute portion de 
P contenant 6,, existe un point Oy où \g(Ay)| > N. 
Si au voisinage d'un point 6, de P, wid) n’est pas bornée sur P, 
oscillation *) de y(@) sur P au point 6, est infinie. Et réciproquement 
d’ailleurs. 
Or, M. Batre a montré que si une fonction W(O) est limite de 
fonctions continues, l'ensemble A(a) des points de P où Vosecillation 
de y(@) sur P? surpasse un nombre positif « donné est non dense 
sur P. A fortiori, ensemble AK des points où l'oscillation de y(@) 
est infinie, est-il non dense sur P. 
Voici la démonstration de Barrw dans ce cas particulier. 
Soit A l'ensemble des points de P au voisinage desquels w(4) n’est 
pas borné. A est évidemment fermé. Si A n’était pas non dense 
sur P, il existerait une portion P, de P qui serait contenue dans K. 
Nous définissons simultanément: une suite de points 6,,..., On,..-, 
situés sur P,, une suite de segments?) s,,5,,..-, le segment s, 
étant intérieur a s,_; et contenant lui-même 6, à son intérieur, et 
une suite de nombres w,, par cette regle récurrente: s, est un segment 
quelconque contenant des points de P,.s,—1 étant supposé obtenu, 
nous définissons comme il suit 6,,s,, u». y(A) étant non borné sur 
P,, au voisinage de tout point de /,, il existe sur P,, intérieurement 
A Spi, un point 6, où y(A,) > 2n. D’apres w(A7) = maz. | R(G, , u) 
nur 
il existe un nombre w, non nul tel que |R(6,,u„)|>>n. R(O,u) 
étant continue par rapport a 6 si u #0, on peut entourer 6, d'un 
segment s, intérieur a s,—1, inférieur en longueur a 1/,s,-4 et en 
tout point 6 duquel | R(G,2,)| > n. 
Il existe un point @ (et un seul, puisque s, tend vers 0 en lon- 
gueur) intérieur à tous les segments s,.6’ est la limite unique des 
points @,. Done, @ est sur P,. Or, @ appartenant a s, quelque 
soit n, la suite | R(@’,u,)| eroit indéfiniment avec mn, ce qui est con- 
traire a l'existence de y(@’). | 
Done MK est non dense sur P. Dans toute portion de P il en 
existe une autre où AK n’a pas de points et sur laquelle, par suite, 
(uA) est bornée. Cette conclusion exige seulement que, pour chaque 
valeur de @, les limites d’indétermination de A(6,w) pour u= 0 
ki 
') L'oscillation de f sur un ensemble Q en un point limite 6, de Q, est l’écart 
des valeurs limites extrêmes de f (6) quand 4 tend vers 6 sans quitter Q. (6 peut 
coincider une infinité de fois avec 6, si 6) appartientà Q) Si f supposée finie en 
tout point et en particulier au point 4, est non bornée sur Q au voisinage de 6p, 
oscillation de f sur Q en 4, est évidemment infinie. 
3) Je distingue le segment afl (ensemble « < x < 2) del’intervalle af (ensemble 
a <r <8). 
