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soient finies et non pas (condition A) toujours égales et finies. 
Si F vérifie la condition (A), on montre par un raisonnement analogue 
au précédent, que st en tout point de P, | f(@)| est inférieur à un 
nombre fixe C, on peut trouver un nombre positif y tel que, si (On) 
est le maximum de | R(O.u)| pour |u| <y, il existe une portion P, de 
P en tout point de laquelle w6,r) < C. L'hypothèse opposée, que 
toute portion de P contient, quelque soit 7, des points 6 où y(4,1) > C, 
entraine | 7(6,|>C en certains points de P. Toute portion de P 
donne lieu au même énoncé que P lui-méme. 
„Nous allons appliquer les propositions précédentes a diverses 
catégories d’ensembles parfaits P, en supposont que F vérifie les 
conditions (A) et (B). 
Prenons d’abord pour P un segment continu «3. [ensemble 
K relatif à P est non dense sur P. Done, dans tout segment S 
situé sur ag, existe un segment s’, ou a’p’, où K ne possède aucun 
point. Alors, pour tous les points de s’, w(@) est inférieur a un 
même nombre 4.0 et O-+h étant deux nombres quelconques 
= D’aprés w (6) et w(O HA) << A, F 
a une dérivée au point @. De plus, d'après la formule (9) où a = 2 (et 
dont la démonstration se simplifierait extrémement avec les valeurs 
intérieurs a s’, posons hy, = 
considérees de h,), 
h) — F(6 
Q (A, een : ( Pas + 40) Ah. 
En échangeant les rôles de 6 et de 6 +h, on trouve 
F (6) — F (6 
Q(p +h —h= at] a 96 FA) + 400'Ah. (9, 0 < 1), 
pO + h)— p(0) 
h 
Done la fonction p(6) est continue sur s’ et a ses nombres dérivés 
bornés. Elle possède, sauf éventuellement sur un ensemble de 
‘mesure nulle de valeurs de @ comprises entre @’ et 8’, une dérivée 
qui, constituant pour / une dérivée seconde, ne saurait être autre 
que f (0). 
Nous obtenons done ce premier résultat important: 
1°. L’ensemble des points de non existence ou de discontinuité de 
la dérivée de F(O), est non dense sur le continu. 
2°. L’ensemble des points autour desquels p (0), dérivée de F(O), 
existe et est continue, et en lesquels y (A) a pour dérivée f (9), cet 
ensemble est partout dense sur le continu. 
est borné sur lintervalle a’p’. 
Par conséquent 
