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Je dis que l'ensemble des points où F(A) ne possède pas de 
dérivée est de mesure nulle. 
En effet, supposons que cet ensemble ait une mesure positive 
(qu’il soit épats)*). Il contient done un ensemble parfait épais en 
lui-même P. Il existe.une portion de P, soit P,, où w (A) est borné. 
Or P, étant épais, contient des points où son épaisseur est égale 
a 1. Soit 4, un de ces points. Il existe un nombre positif n, tel 
que, dans tout intervalle contenant @, et de longueur inférieure a y, 
Pensemble P, possède une épaisseur moyenne supérieure a */, 
a 
Qu+i 
positive. Done P, possède des points dans cet intervalle. Soit@ +h, 
hn 
Pun deux. La suite A, vérifie la condition 1 << < 4et w(O+h,) 
‚fen H1 
est inférieur, quel que soit n, au maximum fini de w(9) sur P. 
Le théorème général s'applique. Done, contrairement a notre 
hypothèse, /’(@) possède une dérivée en 6. | 
Done, Pensemble EH des points où F’(O) n'eviste pas, ensemble 
coincidant avec celui où la série (2) diverge, cet ensemble est de 
mesure nulle, résultat déjà connu et démontré en particulier par 
M. Fatou, mais que nous établissons sans recours a l'intégration. 
Considérons l'ensemble /, où y (A) existe. Je dis que p (A) possède 
une dérivée approvimative *) égale a f(A) en tout point de E, sauf 
éventuellement sur un ensemble de mesure nulle *). 
On montre d’abord par un type de raisonnement que j'ai indiqué 
. A 1 > 
Done, dans l’intervalle 6, + à 0, + an” la mesure de P, ést 
1) Je dis qu'un ensemble E est épais si sa mesure est positive; qu'il est épais 
dans un intervalle ab, si les points de EZ intérieurs 4 ab forment un ensemble 
de mesure positive; épais en un point, sil est épais dans tout intervalle contenant 
ce point; épais en lui-même, sil est épais en chacun de ses points. Si les points 
de EH compris entre a et b (a <b) forment un ensemble de mesure m(b)—m(a), 
m(b)—m(a) 
le rapport Supe ¥ 
L’épaisseur de E en un point x est la limite, si elle existe, de l’épaisseur moyenne 
de # sur un intervalle contenant x) et tendant indifféremment vers 0 en longueur 
(voir ma note de la précédente séance pour les cas où l'épaisseur n'existe pas). 
?) On dit que p (4) possède une dérivée approximative A en un point 9, (où p 
: : ; 6)— 96 
est définie) si le quotient (2) — (60) tend vers A, quand 4 tend vers 6, en se dépla- 
En 
gant indifféremment sur un ensemble (où ¢ est supposé défini) dont l’épaisseur en 6, 
est égale à 1. (M. KiNrcHiNE emploie dans le même sens lexpression de dérivée 
asymptotique). 
8) „Sur un ensemble contenu dans E, et de même mesure que lui’ s'exprime 
par la locution „presque partout sur Zj” de M. Lregesqve ou par celle.ci „sur une 
pleine épaisseur de £,”’ que j'ai proposée. 
s'appelle l’épwisseur moyenne de E sur l'intervalle ab. 
