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ailleurs (Bull. de la Soc. Math. de Fr., 1915) que, si p (0) n’admet 
pas en 6, la dérivée approximative f (0), il existe un nombre positif 
d(@,) ou d, tel que l'ensemble e(d,) des points 6 vérifiant 
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ae) 
possède en 0, une épaisseur supérieure positive, pour un côté au moins. 
Si le théoreme énoncé était inexact, l'ensemble H des points 
6, précédents anrait une mesure positive. 
Nous pouvons évidemment supposer que la fonction d(6,) de 4, est 
mesurable [il suffit pour cela que d(O,) soit par exemple la moitié 
de la borne supérieure stricte des nombres d tels que l'épaisseur 
supérieure en 4, de l'ensemble e(d) soit positive]. Soit H, l'ensemble 
des 6, tels que nd(0,) > 1. 
H est la réunion des H,. Done l'un au moins des A, a une 
mesure positive. Il existe done un nombre positif d, tel que l'ensemble 
H’ des 9, vérifiant d(O,) > d a une mesure positive. 
H’ contient un ensemble parfait Q épais en lui-même. 
F(A) étant limite de fonctions continues est ponctuellement discontinue 
sur Q (Barre). Si petit que soit d’, l'ensemble des points de Q où 
Yoscillation de f(9) sur Q est au moins égale a d’, cet ensemble est non 
d 
dense sur Q. Prenons d’ = 191° Il existe une portion Q, de Q en tout 
point de laquelle l’oscillation de f sur Q (done aussi sur Q,) est inférienre 
a d’. Done, si 9, est un point particulier de Q,, il existe un intervalle 
2 contenant 4, et tel qu’en chaque point 6 de Q situé sur le segment 2, 
d 
LO SONG 
Soit Q, la portion de Q, déterminée par l’intervalle 7. (Q, est 
Yensemble parfait situé sur le segment t et coïncidant avec Q, dans 
Pintervalle 2). 
Chacun, sauf le dernier, des ensembles B HOES OQ» Qeeon- 
tient le suivant. Done, en tout point de Q,, g(@) existe (puisque Q, 
. d d 
est dans ZE), /(@) est compris entre f(0,) — 91 et IOs) + For 
(dernière condition de Q,), et y(@) possède, en tout point 6, de Q,, 
et sur tout ensemble w(@,) d’épaisseur 1 en 4,, un nombre dérivé 
spécial a w(A,) et différant de f(0) de plus de d en valeur absolue 
(puisque Q, est dans H’). 
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Considérons #,(0)= F(A) — 9 S4,)- Cette fonction continue possede 
en tout point de Q, la dérivée p,(0) = 4(A) — 6 f\9,). F(A) possède 
